Математика

Перпендикулярность прямой и плоскости

 

Мы занимаемся изучением простейших объектов в пространстве – точек, прямых и плоскостей, их свойств, а также отношений между ними. Многие из полученных нами результатов будут техническими, то есть будут нужны исключительно для доказательства более сложных и полезных на практике утверждений и теорем.

 

Поэтому гораздо важнее запоминать не все эти факты, леммы и теоремы, а общие идеи – каким может быть взаимное расположение объектов, какие отношения между ними можно ввести и т. д.

Рассматривая две прямые на плоскости, мы говорили об отношении между ними – угле, который они образуют.

В пространстве могут быть два случая: прямые лежат в одной плоскости (параллельны или пересекаются, причем как определить угол между ними, мы знаем из планиметрии) (см. рис. 1); прямые скрещиваются, то есть не лежат в одной плоскости (см. рис. 2).

Рис. 1. Прямые лежат в одной плоскости

Рис. 2. Прямые не лежат в одной плоскости

На прошлом уроке мы расширили понятие угла между прямыми и для скрещивающихся прямых, сведя его к уже известному нам понятию угла между прямыми в плоскости: если прямые  и  скрещиваются, то угол между ними – это угол между прямой  и любой прямой , которая лежит с  в одной плоскости и параллельна  (см. рис. 3).

Рис. 3. Угол между скрещивающимися прямыми

Можно привести такой пример: если мы посветим на какую-то плоскость, то тени от скрещивающихся прямых  и  на этой плоскости будут пересекаться под тем же углом, что и сами эти прямые (см. рис. 4).

Рис. 4. Тени от скрещивающихся прямых  и  пересекаются под тем же углом

Итак, для любой пары прямых в пространстве можно ввести отношение между ними – угол.

Мы выделяли два особых случая расположения прямых – параллельность и перпендикулярность (когда все углы, которые образуются при пересечении, одинаковы). О параллельности мы подробно поговорили на прошлом уроке, рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве.

Определение останется неизменным: две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. Прямой угол может быть между пересекающимися или скрещивающимися прямыми.

Для примера рассмотрим куб. Пересекающиеся прямые  и  являются перпендикулярными, но и скрещивающиеся прямые  и  тоже являются перпендикулярными, так как в силу параллельности  и  угол между прямыми такой же (см. рис. 5).

Рис. 5. Перпендикулярные скрещивающиеся прямые

 

Этот пример можно обобщить до следующего утверждения.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и вторая перпендикулярна этой прямой (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к лемме:

Доказательство непосредственно следует из определения угла между двумя прямыми в пространстве. Частный случай этого утверждения мы формулировали в планиметрии для прямых, лежащих в одной плоскости.

Прямая и плоскость могут быть параллельны, пересекаться в одной точке или прямая может лежать в плоскости (см. рис. 7).

Рис. 7. Варианты взаимного расположения прямой и плоскости

Рассмотрим подробнее второй случай. Несложно увидеть, что прямая может быть наклонена в любую из сторон больше или меньше, но есть один особый случай – когда прямая не отклоняется ни в одну из сторон, а расположена строго вертикально относительно плоскости. В таком случае говорят о перпендикулярности прямой и плоскости (см. рис. 8).

Рис. 8. Угол между прямой и плоскостью

Все мы понимаем, как расположить карандаш перпендикулярно листу бумаги, чтобы он не упал. Но это интуитивное определение, для использования этого математического инструмента нам понадобится точное.

Естественное желание – использовать уже сформулированное определение для перпендикулярности прямых: «прямая перпендикулярна плоскости, если она составляет с ней прямой угол». И это, конечно, верно. Но дело в том, что понятие угла между прямой и плоскостью мы пока не ввели.

Попробуем пойти другим путем. Начертим на листе бумаги несколько прямых – пересекающихся, параллельных, каких угодно (см. рис. 9).

Рис. 9. Начерченные прямые на листе бумаги

Снова приставим карандаш перпендикулярно листу бумаги. Легко видеть, что все начерченные прямые будут перпендикулярны карандашу. Действительно, чтобы карандаш не падал ни в одну из сторон, он должен в любом направлении вдоль плоскости образовывать одинаковые углы (см. рис. 10).

Рис. 10. Все начерченные прямые перпендикулярны карандашу

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым этой плоскости.

Из этого определения и леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей получаем следующую теорему.

 

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство

Первая прямая перпендикулярна плоскости, значит, она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости. Значит, вторая прямая тоже им всем перпендикулярна, а это значит, что она перпендикулярна самой плоскости (см. рис. 11):

Рис. 11. Иллюстрация к доказательству

Доказано.

 

Верна и обратная теорема: если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны друг другу.

Попробуйте доказать это утверждение сами, а мы его разберем на следующем практическом уроке.

 

Чтобы показать перпендикулярность прямой и плоскости с помощью определения, нужно показать перпендикулярность этой прямой всем прямым в плоскости. На самом деле это требование излишне.

Если вы положите карандаш на стол, то второй карандаш перпендикулярно приставить к нему вы можете множеством способов. Он может лежать в плоскости стола, быть перпендикулярным столу или составлять с ним любой угол. Но если на столе лежат два пересекающихся карандаша, то третий карандаш расположить перпендикулярно им обоим можно только одним способом – перпендикулярно плоскости стола.

Это утверждение является очень удобным признаком перпендикулярности и формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к теореме

Обратите внимание, что пересечение прямых в плоскости является важным условием – если бы прямые были параллельны, то перпендикулярность одной из них автоматически означала бы перпендикулярность и второй, то есть никакой дополнительной информации нам бы вторая параллельна прямая не давала. И утверждать перпендикулярность прямой и плоскости было бы нельзя. Эта ситуация чем-то напоминает решение системы линейных уравнений: если оба уравнения задавали одну и ту же прямую, то, по сути, давали одну и ту же информацию, одно не дополняло, а дублировало другое. Поэтому у системы оказывалось не одно, а бесконечно много решений.

 

Задача 1. Доказать, что для данной точки пространства и данной прямой существует плоскость, проходящая через эту точку и перпендикулярная данной прямой.

Легко представить, о чем речь. Если взять карандаш и любую точку в пространстве рядом с карандашом или прямо на карандаше, после этого насадить на карандаш лист бумаги и продвинуть его до положения, чтобы точка оказалась на листе, то мы получим плоскость, перпендикулярную прямой и проходящую через данную точку (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче

Со строгим доказательством этого утверждения можно ознакомиться ниже.

---

 

Доказательство

Проведем через прямую  две плоскости  и  так, чтобы  проходила через точку .

Проведем в плоскости  прямую  через точку  перпендикулярно прямой .

Через точку их пересечения уже в плоскости  проведем прямую , перпендикулярную .

Две прямые пересекающиеся прямые  и  задают плоскость . Прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, значит, перпендикулярна самой плоскости (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к доказательству

Итак, мы доказали существование такой плоскости. Точка  не лежала на прямой. Но если бы лежала, то это не повлияло бы на наше доказательство.

Докажите самостоятельно единственность такой плоскости. Метод от противного подойдет.

---

Верно и симметричное утверждение.

Теорема. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости, причем только одна.

Снова возьмем лист бумаги и карандаш. Рядом с листом или прямо на нем расположим точку. Существует единственное положение карандаша, чтобы он проходил через данную точку и протыкал лист бумаги под прямым углом (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к теореме

Строгое доказательство проведем на следующем уроке.

 

Используя перпендикулярность прямой и плоскости, можно доказать признак параллельности двух плоскостей: если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны друг другу.

Если на карандаш насадить два листа бумаги перпендикулярно карандашу, то листы будут параллельны (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к признаку параллельности двух плоскостей

Доказательство

Итак, плоскость  и  перпендикулярны прямой . Прямая  пересекает плоскости в точках  и  (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к доказательству

Если плоскости не параллельны, то у них есть общая точка  (на самом деле их больше, но нам достаточно одной) (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к доказательству

Тогда треугольник  имеет два прямых угла, что невозможно. Таким образом, плоскости не могут пересекаться, т. е. они параллельны.

Доказано.

 

Расстояние между геометрическими объектами. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью

 

 

Как определить расстояние между двумя объектами? Любые реальные объекты имеют размеры, поэтому расстояния между разными их точками будут различны. Все зависит от конкретной задачи, которую мы решаем. Если речь идет об объектах, размерами которых в данной ситуации можно пренебречь, то мы считаем их материальными точками и не учитываем размеры самих объектов (например, расстояние между Землей и Луной). Но так можно сделать не всегда – если водитель совершает обгон фуры, то решение не учитывать ее размеры может быть для него смертельно опасным.

 

Для решения задач мы должны использовать приближения, математические модели. Поскольку нас чаще всего интересуют крайние случаи, то мы будем подразумевать под расстоянием между объектами расстояние между их ближайшими точками, то есть кратчайшее расстояние между ними. Например, расстоянием от точки до прямой на плоскости мы назвали длину перпендикуляра (см. рис. 19), потому что это самый короткий из всех отрезков, соединяющий данную точку с точками прямой.

Рис. 19. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Это общий подход к определению расстояния между фигурами: в качестве него выбирают расстояние между ближайшими точками этих фигур. Если фигуры имеют хотя бы одну общую точку, то расстояние между фигурами будет равно нулю.

В планиметрии расстояние от точки  до прямой  определялось как длина перпендикуляра, опущенного на прямую . Это было кратчайшее расстояние от точки  до любой из точек прямой, так как любая наклонная  всегда длиннее перпендикуляра  (см. рис. 20).

Рис. 20. Расстояние от точки до прямой в планиметрии

Для определения расстояния от точки до прямой в стереометрии никаких новых определений не понадобится. Если точка лежит на прямой, то, как и в планиметрии, расстояние между ними равно нулю. Если точка не лежит на прямой, то они задают плоскость, где мы можем использовать прежнее определение расстояния – длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую (см. рис. 21).

Рис. 21. Расстояние от точки до прямой в стереометрии

Новым инструментом для нас будет расстояние от точки до плоскости. Будем использовать ту же логику, что и для расстояния от точки до прямой, а именно искать кратчайшее расстояние между данной точкой и точками плоскости (см. рис. 22).

Рис. 22. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости – это математическая модель расстояний между реальными объектами. Например, эта модель хорошо подходит, если мы измеряем расстояние от высоко летящего самолета до поверхности Земли.

Но если самолет только отрывается от земли в момент взлета, то такая модель нам не подойдет, потому что самолет уже не похож на точку, разные его части находятся на существенно разном расстоянии от земли. Если рассматривать расстояние от спутника до поверхности Земли, то сам спутник на точку похож, а вот Земля на плоскость уже нет.

Дадим строгое определение расстоянию от точки до плоскости (см. рис. 23). Через точку  проходит единственная прямая, перпендикулярная плоскости . Она пересекает ее в некоторой точке . Отрезок прямой  называется перпендикуляром, опущенным из точки  на плоскость . Точка  называется основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра называется расстоянием от точки до плоскости.

Рис. 23. Иллюстрация к определению расстояния от точки до плоскости

Выберем на плоскости произвольную точку , отличную от  (см. рис. 24). Отрезок  называется наклонной, проведенной из точки  к плоскости , точка  называется основанием наклонной. Отрезок  называется проекцией наклонной на плоскость .

Рис. 24. Иллюстрация к определению расстояния от точки до плоскости

Если мы будем светить на отрезок  так, как показано на рисунке (см. рис. 25), то тень на плоскости и будет проекцией .

Рис. 25. Тень на плоскости и есть проекция

Так как наклонная – это гипотенуза треугольника , то она длиннее перпендикуляра.

Если нужно добраться из точки  до плоскости , то самый короткий путь – перпендикуляр.

Расстояние между прямой, которая пересекает плоскость, или пересекающимися плоскостями равно нулю в соответствии с определением расстояния между фигурами.

Ответ на вопрос, что такое расстояние между параллельными плоскостями или прямой и плоскостью, достаточно очевиден. Перпендикуляр, опущенный из любой точки одной плоскости на другую, короче любой наклонной проведенной из этой же точки на вторую плоскость (см. рис. 26).

Рис. 26. Расстояние между геометрическими объектами

Возьмем теперь на одной плоскости две произвольные точки и опустим из них перпендикуляры на вторую плоскость (см. рис. 27). Эти точки вместе с основаниями перпендикуляров задают прямоугольник. Следовательно, эти перпендикуляры равны друг другу.

Рис. 27. Перпендикуляры равны друг другу

Таким образом, длина перпендикуляра, опущенного из одной точки плоскости на вторую, и будет расстоянием между плоскостями.

 

Несложно провести аналогичные рассуждения для расстояния между параллельными прямой и плоскостью.

Опустим из точки  на плоскость  наклонную  и перпендикуляр .

Проведем в плоскости  через точку  прямую , перпендикулярную  – основанию наклонной (см. рис. 28).

Рис. 28. Иллюстрация к теореме

Прямая  перпендикулярна плоскости , следовательно,  перпендикулярна любой прямой из плоскости , в том числе прямой . Тогда прямая  перпендикулярна прямым  и , следовательно, она перпендикулярна всей плоскости треугольника , а значит, и наклонной .

Этот результат называют теоремой о трех перпендикулярах:прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной (т. е. точку  в нашем случае) перпендикулярно к ее проекции (т. е. перпендикулярно ), перпендикулярна и самой наклонной.

 

Очевидно, что можно поступить и наоборот: прямую  провести в плоскости  перпендикулярно наклонной , тогда она будет перпендикулярна и основанию наклонной.

О каких трех перпендикулярах идет речь, понятно: ,  и  – три взаимно перпендикулярные прямые. Кроме того, здесь можно указать на три пары перпендикулярных прямых – перпендикуляр и основание, основание и прямая , наклонная и прямая . Это важный факт, который в дальнейшем мы будем часто использовать при решении различных задач, поэтому его полезно запомнить.

 

Теперь мы с вами рассмотрим обещанное ранее понятие угла между прямой и плоскостью.

Мы умеем определять угол между двумя прямыми. Одна у нас уже есть, но возникает вопрос: какую прямую в плоскости выбрать в качестве второй. Если выбирать разные прямые, то будут получаться разные углы (см. рис. 29). Понятно, что для определения математического инструмента нужна однозначность.

Рис. 29. Углы между прямыми и плоскостью

Сформулируем строгое определение угла между прямой и плоскостью: углом между наклонной  и плоскостью  называется угол между наклонной и ее проекцией  (см. рис. 30).

Рис. 30. Иллюстрация к определению

Объяснение, почему мы дали именно такое определение угла между прямой и плоскостью, обязательно к изучению для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

---

 

Определение угла между прямой и плоскостью

Может показаться, что мы очень произвольно заменили угол между прямой и плоскостью на угол между прямой и проекцией. Здесь важно, что данный угол будет наименьшим из возможных, если рассматривать другие прямые в плоскости.

В самом деле, пусть  – угол между прямой  и ее проекцией. Проведем через точку  еще одну прямую  в плоскости . Покажем, что угол  между прямой  и этой прямой  будет больше (см. рис. 31).

Рис. 31. Иллюстрация к определению

Опустим перпендикуляр  на прямую  (см. рис. 32).

Рис. 32. Иллюстрация к определению

Так как  – это перпендикуляр к плоскости , то  – это наклонная. Следовательно, . Тогда , так как , а . Но для острых углов из этого будет следовать, что .

Таким образом, наше определение угла между прямой и плоскостью как угла между прямой и ее проекцией эквивалентно тому, как если бы мы называли углом между прямой и плоскостью наименьший угол, который наша прямая составляет с прямыми плоскости.

---

 

Ортогональное проектирование

 

 

Мы уже рассматривали принципы параллельного проектирования (Параллельное проектирование ). Его идея в том, что все точки фигуры (объемной или плоской) переносятся параллельно на плоскость изображения.

 

Простой пример параллельного проектирования – тень от объекта на стене в солнечном свете. То, что свет именно солнечный, важно для данного примера, так как лучи параллельны друг другу за счет очень удаленного источника света.

Если теперь лучи солнца будут падать на поверхность перпендикулярно ей, то полученная тень будет примером не просто параллельного проектирования, а ортогонального (см. рис. 33). При этом сам объект, отбрасывающий тень, можно располагать как угодно.

Рис. 33. Пример ортогонального проектирования

Параллельное проектирование, в котором направление проектирования перпендикулярно плоскости проектирования, называется прямоугольным, или ортогональным, проектированием (см. рис. 34).

Рис. 34. Иллюстрация к определению

Термин «ортогональный» мы пока будем воспринимать как синоним «перпендикулярному». Проекцией точки будет основание перпендикуляра, опущенного на плоскость изображения.

Так как прямоугольное проектирование – это частный случай параллельного, то отрезок будет проектироваться в отрезок, а, соответственно, треугольник в треугольник. Исключением будет ситуация, когда плоскость треугольника (или любой другой плоской фигуры) перпендикулярна плоскости проекции. В таком случае любая плоская фигура отобразится в линейную, например в отрезок (см. рис. 35).

Рис. 35. Ортогональное проектирование

Если солнечные лучи падают на поверхность перпендикулярно, то, как ни крути карандаш, невозможно сделать тень длиннее самого карандаша. Легко видеть, почему так происходит.

Задача 2. Отрезок  – ортогональная проекция отрезка  (см. рис. 36). Найти .

Рис. 36. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Построим отрезок  параллельно  (см. рис. 37).

Рис. 37. Иллюстрация к задаче 2

Полученный четырехугольник  – параллелограмм. Значит:

В прямоугольном треугольнике :

Значит:

Ответ: .

При этом угол  является также углом между  и плоскостью проекции. Таким образом, длина ортогональной проекции отрезка равна произведению этого отрезка на косинус угла между отрезком плоскостью проекции.

Проекция отрезка равна катету, а сам отрезок является гипотенузой, поэтому проекция обычно имеет меньшую длину. Если отрезок будет параллелен плоскости, то угол будет равен нулю, косинус единицы и проекция равна самому отрезку.

Противоположной крайностью будет перпендикулярность отрезка плоскости. Угол прямой, косинус равен нулю, длина проекции равна нулю, отрезок отображается в точку.

 

Подобно тому как тень от карандаша не бывает длиннее самого карандаша при прямоугольном падении лучей, так и площадь тени плоской фигуры не будет больше площади самой фигуры. Более того, связь между этими величинами ровно такая же, как с длинами отрезков.

Площадь ортогональной проекции треугольника равна произведению площади самого треугольника на косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью проекции:

Рис. 38. Ортогональная проекция треугольника

Мы докажем этот факт на следующем уроке. А пока из него сделаем следующие выводы:

раз любой плоский многоугольник разбивается на треугольники, имеющие один и тот же угол наклона к плоскости проектирования, то это соотношение выполняется и для произвольного многоугольника (см. рис. 39):

Рис. 39. Ортогональная проекция многоугольника

Более того, любую плоскую фигуру мы можем как угодно точно приблизить многоугольниками. Тогда это соотношение выполняется уже для любой плоской фигуры.

 

Итак, наши рассуждения формулируются в виде такой общей теоремы: площадь ортогональной проекции плоской фигуры равна площади самой фигуры умноженной на косинус угла между плоскостями фигуры и проекции (см. рис. 40).

Рис. 40. Ортогональная проекция плоской фигуры

Ортогональное проектирование широко используют в инженерии при изготовлении чертежей. Обычно берут три взаимноперпендикулярные плоскости. В трехгранный угол, которые они образуют, мысленно помещают деталь, и выполняют три ортогональные проекции этой детали на три этих плоскости.

Часто эти проекции называют так: вид спереди, вид сверху, вид сбоку, что, собственно, соответствует действительности (см. рис. 41). Невидимые линии на чертежах выполняют пунктиром, как это делаем и мы в стереометрии.

Рис. 41. Ортогональные проекции

Понятно, что удобство такого чертежа очень зависит от того, как мы расположим объект относительно плоскостей проектирования. Польза такого способа изображения несомненна.

Три простых плоских изображения дают тренированному человеку возможность точно понять, как выглядит сам объект. Например, какой объект может иметь в качестве ортогональных проекций круг, квадрат и треугольник? Нетрудно убедиться, что это нечто, похожее на насадку для фена (см. рис. 42).

Рис. 42. Насадка для фена имеет в качестве ортогональных проекций круг, квадрат и треугольник

Если указать только две проекции из трех, то здесь остается неопределенность и можно поломать голову. Какой объект может иметь такие две проекции (см. рис. 43)?

Восстановите третью и изобразите объемный рисунок. Помните, что сплошные линии означают видимые ребра.

Рис. 43. Проекции некоторого объекта

На следующем практическом уроке мы разберем возможные варианты.

 

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

 

 

Сложим лист бумаги. Получим фигуру, называемую двугранным углом (см. рис. 44). Сводя и разводя половинки листа в разные стороны, легко убедиться, что такие углы имеют разную величину.

 

Рис. 44. Двугранный угол

Дадим теперь строгое определение и разберемся со способами измерения этих углов.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, имеющими общую границу (см. рис. 45). Полуплоскости называются гранями угла, а общая граница граней – ребром угла.

Рис. 45. Иллюстрация к определению

Сравните это определение с определением плоского угла: фигура, образованная двумя лучами (полупрямыми), имеющими общее начало. Полупрямые называются сторонами, а общее начало – вершиной угла.

Определение величины двугранного угла следует из практического способа сравнения таких углов. Сложив лист бумаги в форме двугранного угла, мы, чтобы понять, насколько он велик, смотрим между гранями вдоль ребра, т. е. в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Таким образом, понятно, что нужно делать.

Проведем плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла (см. рис. 46).

Рис. 46. Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла

Линии пересечения этой плоскости с гранями угла перпендикулярны ребру. Линейный угол  называется линейным углом двугранного угла. Сам двугранный угол обозначают четырьмя точками. Первая на одной грани, например точка , потом ребро  и точка на второй грани.

Итак, у нас есть двугранный угол  и его линейный угол . Понятно, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу, так как их стороны сонаправлены. Способ построения линейного угла обычно такой:

1. Выбираем на ребре точку  (см. рис. 47).

Рис. 47. Точка  на ребре

2. Проводим из этой точки перпендикуляры к ребру в плоскости одного ребра и другого ребра. Получили линейный угол двугранного угла (см. рис. 48).

Рис. 48. Линейный угол двугранного угла

Величину линейного угла и принимают за величину самого двугранного угла (см. рис. 49):

Рис. 49. Величину линейного угла принимают за величину самого двугранного угла

Две плоскости, пересекаясь, образуют 4 двугранных угла (см. рис. 50). По аналогии с углом между прямыми углом между плоскостями называют меньший из двугранных углов.

Рис. 50. Две плоскости, пересекаясь, образуют 4 двугранных угла

 

Как и в случае с пересечением двух прямых на плоскости, нас будет особо интересовать предельный случай, когда все получающиеся углы будут равны. Мы уже знаем, что такие плоскости будут называться перпендикулярными. Понятно, что стена дома должна быть перпендикулярна фундаменту, чтобы не падать ни вправо, ни влево.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

Поставьте на стол карандаш вертикально. Он перпендикулярен плоскости стола. Теперь приложите к карандашу лист бумаги так, чтобы карандаш лежал в плоскости листа (см. рис. 51). Положений листа бесконечно много – лист можно крутить вокруг карандаша. Но лист всегда будет перпендикулярен плоскости стола.

Рис. 51. Перпендикулярность плоскостей

Это свойство формулируется в виде признака перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказательство

Пусть прямая  перпендикулярна плоскости  и плоскость  проходит через нее (см. рис. 52). Покажем, что плоскости будут перпендикулярны.

Рис. 52. Иллюстрация к доказательству

Проведем через точку  в плоскости  прямую  перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Получим линейный угол  двугранного угла  (см. рис. 53).

Рис. 53. Иллюстрация к доказательству

 перпендикулярна любой прямой в плоскости , в том числе . Следовательно, линейный угол  прямой, а плоскости перпендикулярны.

Доказано.

 

Рассмотрим две перпендикулярные плоскости  и . Они пересекаются по прямой . В плоскости  проведем прямую  перпендикулярную прямой  (см. рис. 54). Покажем, что прямая  перпендикулярна плоскости .

Рис. 54. Перпендикулярные плоскости

Доказательство

Через точку  пересечения прямых  и  в плоскости  проведем прямую , перпендикулярную прямой . Прямые  и  задают плоскость  (см. рис. 55).

Рис. 55. Иллюстрация к доказательству

Прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости , значит, она перпендикулярна самой плоскости . Тогда угол между прямыми  и  – это плоский угол двугранного угла и он прямой, так как плоскости перпендикулярны. 

Тогда  перпендикулярна  и , значит, перпендикулярна и плоскости

Таким образом, мы показали, что если в одной из перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную линии пересечения плоскостей, то она будет перпендикулярна второй плоскости.

Доказано.

 

Верно и обратное утверждение: если плоскости  и  взаимно перпендикулярны и к плоскости  проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с плоскостью , то этот перпендикуляр лежит в плоскости  (см. рис. 56).

Рис. 56. Иллюстрация к обратному утверждению

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно.

 

Существует три варианта взаимного расположения прямой  и плоскости : прямая лежит в плоскости, параллельна плоскости или пересекает плоскость (см. рис. 57).

Рис. 57. Взаимное расположение прямой и плоскости

Легко видеть, что во всех трех случаях существует единственная плоскость , проходящая через прямую  перпендикулярно плоскости  (см. рис. 58).

Рис. 58. Плоскость , проходящая через прямую  перпендикулярно плоскости

Для этого во всех случаях достаточно выбрать на прямой произвольную точку и провести через нее перпендикуляр  к плоскости  (см. рис. 59). Прямые  и  зададут искомую плоскость. Докажите эти утверждения самостоятельно.

Рис. 59. Через произвольные точки на прямых  проведены перпендикуляры  к плоскости

Исключением будет случай перпендикулярности прямой  и плоскости . В этом случае любая плоскость, проходящая через прямую , будет перпендикулярна плоскости  (см. рис. 60).

Рис. 60. Случай перпендикулярности прямой  и плоскости

Раздел о расстоянии между двумя прямыми в пространстве обязателен к изучению для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

---

 

Расстояние между прямыми в пространстве

Понятие перпендикулярности плоскостей позволяет нам ввести понятие расстояния между двумя прямыми.

Если прямые пересекаются, то расстояние равно нулю в соответствии с определением расстояния между двумя фигурами (см. рис. 61).

Рис. 61. Пересекающиеся прямые

Если прямые параллельны, то они задают плоскость и задача является планиметрической. И расстоянием будет длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую (см. рис. 62).

Рис. 62. Параллельные прямые

Конечно, самым сложным является вопрос о расстоянии между скрещивающимися прямыми. На интуитивном уровне на него легко дать ответ. Возьмем в руки два карандаша и расположим их как скрещивающиеся прямые (см. рис. 63).

Рис. 63. Карандаши расположены как скрещивающиеся прямые

Легко увидеть, где находятся их наиболее близкие точки. Для этого нужно мысленно провести через карандаши параллельные плоскости и посмотреть на карандаши перпендикулярно этим плоскостям (см. рис. 64).

Рис. 64. Через карандаши проведены параллельные плоскости

Если соединить эти две точки, получим общий перпендикуляр двух прямых. Его длина и будет расстоянием (см. рис. 65).

Рис. 65. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Докажем факт существования такого перпендикуляра и его единственность.

Доказательство

Через две скрещивающиеся прямые  и  проходит единственная пара параллельных плоскостей  и  – это мы доказали на предыдущем уроке (см. рис. 66).

Рис. 66. Иллюстрация к доказательству

Проведем через прямую  плоскость , перпендикулярную плоскости .

Она пересечет плоскость  по прямой , параллельной прямой , что следует из теоремы о следе. Прямая  пересечет прямую  в точке  (см. рис. 67).

Рис. 67. Иллюстрация к доказательству

Через точку  в плоскости  проведем прямую, перпендикулярную  (см. рис. 68).

Рис. 68. Иллюстрация к доказательству

Так как эта прямая лежит в одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии пересечения, то она перпендикулярна второй плоскости, т. е. плоскости . Следовательно, она перпендикулярна и всем прямым в этой плоскости, в том числе и прямой .

Так как эта прямая построена перпендикулярно , то она перпендикулярна и прямой . Таким образом, мы построили общий перпендикуляр  к скрещивающимся прямым  и .

Покажем единственность такого перпендикуляра. Предположим, что существует еще общий перпендикуляр  (см. рис. 69)_.

Рис. 69. Иллюстрация к доказательству

Если один из его концов совпадает с концом первого перпендикуляра, например точки  и , то мы получаем треугольник с двумя прямыми углами, что невозможно (см. рис. 70).

Рис. 70. Иллюстрация к доказательству

Рассмотрим случай, когда все 4 точки разные.  перпендикулярен прямой , следовательно, перпендикулярен и параллельной ей прямой . Тогда  перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости , а следовательно, и самой плоскости  (см. рис. 71).

Рис. 71. Иллюстрация к доказательству

Так как  тоже перпендикулярна плоскости , то  и  параллельны. Но тогда они задают плоскость и в этой плоскости лежат скрещивающиеся прямые  и , чего быть не может. Следовательно, общий перпендикуляр  единственный.

 перпендикулярен плоскостям  и , следовательно, его длина – это расстояние между плоскостями. Расстояние между любыми другими двумя точками плоскостей  и , следовательно, и прямых  и  не может быть меньше . Таким образом,  – это расстояние между прямыми  и  (см. рис. 72).

Рис. 72. Иллюстрация к доказательству

Таким образом, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно определить как длину их общего перпендикуляра или как расстояние между плоскостями, через них проходящими.

Доказано.

---

 

Трехгранный и многогранный углы

 

 

Три луча, имеющие общее начало и не лежащие в одной плоскости, задают фигуру, называемую трехгранным углом (см. рис. 73). Трехгранный угол имеет три плоских угла, задаваемых каждой парой лучей. Если у треугольной пирамиды убрать основание и продлить боковые грани, то мы получим трехгранный угол.

 

Рис. 73. Трехгранный угол

Интуитивно понятно, что каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов (см. рис. 74).

Рис. 74. Каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов

Это очень похоже на неравенство треугольника. Добраться от ребра  до  быстрее по углу , чем через углы  и . Доказательство этого утверждения мы проведем на следующем уроке.

 

Естественным обобщением трехгранного угла является многогранный угол (см. рис. 75). Для этого нужно построить несколько лучей из общей вершины. При этом соседние (смежные) плоские углы не должны лежать в одной плоскости. В противном случае мы объединим такие плоские углы в один. Кроме того, у несмежных плоских углов не должно быть общих точек, кроме общей вершины.

Рис. 75. Многогранный угол

Трехгранный угол является частным случаем многогранного угла точно так же, как треугольник является частным случаем многоугольника.

Является ли двугранный угол частным случаем многогранного? Если мы построим два луча с общей вершиной, мы не получим двугранного угла. Мы получим плоский угол в пространстве. Таким образом, логика построения многогранных лучей не распространяется на двугранные углы. Можно добавить здесь, что у всех многогранных углов есть вершина, а у двугранного ее нет.

 

Многогранный уголназывается выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой плоскости своей грани.

Если вы на листе бумаги из общего центра проведете несколько лучей, согнете по ним лист, то вы получите многогранный угол, но он не будет выпуклым. Какие-то грани вам придется отправить внутрь (см. рис. 76).

Рис. 76. Пример многогранного угла, не являющегося выпуклым

Верно и обратное: выпуклый многогранный угол невозможно распрямить, сохранив величины углов. Представьте себе бумажную пирамиду без дна, т. е. многогранный угол. Ее не получится распрямить. Это объясняется тем, что сумма его плоских углов меньше . А для распрямления необходимо, чтобы сумма была равна .

Трехгранный угол, как самый простой частный случай многогранного, похож этим на треугольник. Точно так же, как у треугольника все его шесть элементов (3 стороны и 3 угла) не могут быть произвольными, а связаны неравенством треугольника, теоремами синусов и косинусов, аналогичные утверждения выводятся и для трехгранного угла.

Сформулируем некоторые из них без доказательства.

 

Теорема 1 (неравенство треугольника для трехгранного угла):каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов (см. рис. 77):

Рис. 77. Иллюстрация к теореме

 

Теорема 2:сумма плоских углов трехгранного угла меньше :

Это утверждение является частным случаем утверждения для любого многогранного угла.

 

Теорема 3 (теорема косинусов для трехгранного угла):

где  – плоские углы,  – двугранный угол, составленный плоскостями углов  и .

 

Теорема 4 (теорема синусов для трехгранного угла):

где  – плоские углы трехгранного угла; – противолежащие им двугранные углы (см. рис. 78).

Рис. 78. Иллюстрация к теореме

 

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”»

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru
2. Интернет-портал mathematics.ru
3. Интернет-портал edufuture.biz

 

Домашнее задание

1. Расстояния от точки  до вершин квадрата равны . Найти расстояние от точки  до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна .
2. Дан равносторонний треугольник со стороной . Найти площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный .
3. Плоские углы  трехгранного угла равны соответственно . Найти величину двугранного угла, противолежащего углу .