Математика

 

 

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

 

Урок: Синус и косинус суммы аргументов

 

1. Введение. Формулы синуса и косинуса суммы двух аргументов

 

 

На уроке рассматриваются формулы синуса и косинусасуммы аргументов, применение этих формул для решения некоторых задач на вычисление и упрощение выражений, решение уравнений и доказательство тождеств.

 

Самыми важными в тригонометрии являются следующие две формулы:

 

2. Применение формул синуса и косинуса суммы двух аргументов для разных задач

 

 

1. Задача: Вычислить .

 

Решение:

1) Применяя формулу синуса суммы двух углов, имеем:

2) Применяя формулу косинуса суммы двух углов, имеем:

 .

 Ответ: 

2. Задача: упростить выражение .

Решение: применяя формулу синуса суммы двух аргументов, получаем:

.

Ответ: .          

 В следующей задаче используется формула косинуса суммы двух аргументов.

3. Задача: упростить выражение

.

Решение:

Ответ: .

 

3. Доказательство тождеств с помощью формул синуса и косинуса суммы двух аргументов

 

 

4.   Доказать тождество:  

 

Доказательство:

,

что и требовалось доказать. Все действия можно провести и в обратном порядке.

5. Доказать тождество: .    (1)

Доказательство:

Пусть

1) Докажем, что левая часть равна правой части:

2) Можно доказать, что правая часть равна левой части:

Получим

при всех .

При этом, (1) эквивалентно верному равенству при всех действительных  Тождество доказано.

 

4. Вычислительные задачи

 

 

6. Найдите значение выражения:

 

Решение:

Используя формулу при получаем:

.

Ответ: .

7. Вычислить:

Решение:

.

Ответ: .

 

5. Применение изучаемых формул при решении уравнений

 

 

8. Решить уравнение:

 

Решение: применяя формулу  при получаем:

 Ответ:

9. Решить уравнение: .

Решение:

Частный случай решения уравнения  (см. на рис.1).

 

Рис.1 Решение уравнения

 

Ответ:  

10. Задача.

Дано:

Вычислить:

Вычисление:

 из основного тригонометрического тождества имеем:

Ответ: .

11. Формулировка задачи: найти наименьший положительный корень уравнения в градусах

Решение:

 

Углы со значением синуса  описываются двумя множествами точек, см. рис.2.

Рис. 2. Углы со значением синуса

    или   

.                        

Поскольку требуется найти наименьший положительный корень, выполним отбор корня (см. рис.3)

Рис. 3.

Первое множество значений    описывается точкой

Второе множество значений    описывается точкой .

Ответ:

 

6. Итог урока

 

 

На уроке  рассматривались формулы синуса и косинуса суммы аргументов, их применение для решения некоторых задач.

 

На следующем уроке будут рассмотрены формулы синуса и косинуса разности аргументов.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№№ 19.1, 19.5, 19.10(в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)