Математика

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Приближенные вычисления

 

1. Приближенные вычисления

 

 

Приближенные вычисления можно рассматривать как одно из применений производной, а конкретно касательной данной функции. С приближениями мы встречаемся довольно часто, например, если нужно какие-то значения числа , то пишем ,  и т. д.

 

Рассмотрим общий прием получения с хорошей точностью приближенных значений. Предположим, что задана функция   и эта функция имеет сложный график. Достаточно задать точку , для того чтобы получить касательную. Проведем в точке  касательную. Запишем уравнение этой касательной . В окрестности точки  график касательной и график данной функции почти не отличаются (см. рис.1). Предположим, что приращение аргумента  невелико. Имеем  - точное значение функции в точке . Приближенное значение  дает касательная, и если   невелико, то , то есть значение функции в новой точке мало отличается от значения линейной функции (касательной).

Рис. 1. График функции  и касательная.

Итак, идея простая и ясная: в хорошей точки ( хорошая означает то, что в этой точке легко вычислить значение функции) легко вычислить значение . Если в точке  легко вычислить значение , то в новой точке  заменим значение  на значение , то есть кривую заменим касательной. Получим примерный результат. Этот результат будет тем точнее, чем меньше будет приращение .

Например, вычислить приближенно величину  (решение ниже).

Вычислить приближенно .

Сделаем иллюстрацию (см. рис.2).

Рис. 2. График функции .

, а . . Заменим значение функции в точке  значением касательной .

; ; . Итак, .

Таким образом, приближенные вычисления основываются на уравнении касательной. Методику применения мы рассмотрели на конкретном примере.

 

2. Вывод формулы для приближенных вычислений

 

 

Рассмотрим формулы для приближенных вычислений для функции  в окрестности точки , то есть в точке  (см. рис.3).

 

Рис. 3. Окрестность точки  .

Значение функции в точке  равно . Доказать, что .

Доказательство.

Заменим функцию касательной.

; ; . Если заменим значение функции значением касательной, то получим .

Получили формулу, которая позволяет примерно, с достаточной степенью точности, вычислять нужные значения.

Применим эту формулу для решения примера, который был дан вначале: найти приближенное значение .

Рис. 4. Приращение аргумента.

Вычислим приращение  (см. рис.4). Отсюда,

Если особая точность не нужна, то такое примерное вычисление довольно эффективно.

 

3. Итог урока

 

 

Итак, мы кратко рассмотрели теорию приближенных вычислений. Суть заключается в том, что сложную кривую в окрестности точки  заменяем прямой (касательной к графику функции). И если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 639 – 642 (Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.)