Математика

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Типовые задачи на касательную

 

1. Повторение основных понятий, связанных с темой «Уравнение касательной»

 

 

Уравнение касательной к графику функции  в точке  (см. рис. 1) имеет вид:

 

Рис. 1. Касательная к графику функции  в точке .

Угол наклона касательной связан с производной следующим образом:

 . Уравнение касательной полностью определяется значением абсциссы  , поэтому все задачи на касательную, сложные или несложные, связаны с тем,  чтобы найти точку . Одним из типов задач на касательную являются приближенные вычисления. В окрестности точки  значение функции в точке  и значение ординаты касательной в точке отличаются на малую величину. На этом была основана вся теория приближенных вычислений.

Существуют многочисленные задачи на применение касательной.

 

2. Задача 1

 

 

Найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к  кривой   в точке . Проиллюстрировать решение на чертеже.

 

Решение.

Построим график функции . Найдем . Значит, в точке  функция имеет минимум, в точке  функция равна ,

. График функции изображен на  рис.1.

Рис. 2. График функции .

Проведем в точке  касательную, которая отсекает треугольник искомой площади (см. рис.3).

Рис. 3. Касательная к графику функции .

1. Найдем уравнение касательной.

Для этого найдем , . Тогда,

 - уравнение касательной.

2. Определим треугольник, площадь которого нужно найти:

При , ; при , .

Итак, получился прямоугольный треугольник, у которого известны катеты (см. рис.4).

Рис. 4. Треугольник, образованный касательной и осями координат.

3. Найдем площадь треугольника: .

Ответ: .

Итак, одна из стандартных задач – найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Методика построения касательной – стандартная. Точка  дана – это самый простой случай. Нужно просто было найти уравнение касательной, точки пересечения с осями, а потом – площадь треугольника.

 

3. Задача из практики подготовки к ЕГЭ

 

 

На рисунке изображен график функции  (см. рис.4) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой . Найти значение производной в точке , то есть .

 

 

Решение.

Знаем, что . Найдем тангенс дополнительного угла  (см. рис.4): .

Рис. 4. График функции .

Из рисунка видно, что , отсюда

.

Ответ: .

 

4. Вторая типовая задача

 

 

Функция  определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной  (см. рис.5). К графику функции провели все касательные, параллельные прямой . Найти наименьшую из абсцисс точек, в которых проведены эти касательные.

 

Решение.

Поскольку дан график производной функции, то в каждой точке известен тангенс угла наклона касательной. Все касательные параллельны прямой , в которой  - угловой коэффициент.

Рис. 5. График производной функции .

Значит, . Проведем прямую , и найдем точку с наименьшей абсциссой.

Важно понимать, что на графике изображена не сама функция, а ее производная. Если дана производная, то известен тангенс угла наклона в каждой точке.

Ответ:

 

5. Итог урока

 

 

Итак, мы рассмотрели типовые задачи на касательную. Прежде всего нужно уметь строить саму касательную, понимать смысл всех параметров, которые входят в уравнение касательной. Решили несколько типовых задач, в которых либо дан график касательной, либо график производной. Ключи к этим задачам лежат в тех опорных фактах, которые были сформулированы и повторены в начале урока.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник). 

 

Сделай дома

№606, 607 (Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.)