Математика
Тема 11: Степени и логарифмы. Профильный уровеньУрок 1: Степенные, показательные и логарифмические выражения. Профильный уровень
- Видео
- Тренажер
- Теория
Операция возведения в степень и обратные ей
Используя числа и математические операции с ними, мы можем решать различные задачи. С некоторыми операциями мы сталкиваемся чаще, поэтому они для нас привычны. Это сложение, вычитание, умножение и деление. Мы используем их, например, при покупках в магазине.
- Сколько нужно заплатить за булочку и сок?
- Сколько будут стоить 12 тетрадей?
- Сколько сдачи мы получим, если заплатим за эти тетради 1000 рублей?
- Сколько можно ручек можно купить на сдачу?
Вы знаете и о других математических операциях, например возведении в натуральную степень. В повседневных расчетах мы ее практически не используем, но можем применять при решении простых прикладных задач: посчитать площадь квадрата, объем куба, рассчитать движение тела под действием силы тяжести или прибыль по сложным банковским процентам.
Сегодня мы расширим понятие возведения в степень, а также узнаем еще о нескольких операциях: извлечении корня натуральной степени и взятии логарифма.
Начнем с уже знакомой вам операции возведения в натуральную степень. Напомним, что это всего лишь краткая запись умножения одинаковых сомножителей:
Как мы отметили, она применяется для расчета сложных процентов в банковских вкладах. Если положить в банк 
денег с ежегодной ставкой 
, то через 
лет на счету будет 
. Как получить эту формулу, вы можете узнать из ответвления.
Простые и сложные проценты
Что же такое сложные проценты? И если есть сложные, то есть ли простые? Да, есть.
В простых процентах так: у вас есть вклад, например, 
р; есть годовая процентная ставка, например 
. Каждый год вам начисляют по от начальной суммы, т. е. по 
рублей. Такие проценты называются простыми, поскольку каждый год вклад увеличивается на одну и ту же сумму.
Но реальные банковские вклады работают не так. Процент начисляется не от начальной суммы, а от текущей. Например, были те же рублей. За первый год начислили – рублей, и на счету стало 
р. Во второй год берут уже от текущей суммы, от 
и начисляют 
р. Получаем 
р. Третий год берут процент от этих и т. д. Это и есть сложные проценты.
Эти же расчеты мы можем провести по-другому. Было , за первый год увеличили на , т. е. стало 
. Чтобы найти от 
нужно умножить 15 000 на 
:
За следующий год также стало , но уже от . Нужно еще умножить на :
или же 
.
За третий год снова умножаем на : 
и т. д.
Тогда через лет получим:
В общем виде, если начальный вклад и ежегодно начисляется , то будет умножаться на 
. Получим величину вклада через лет:
Немного преобразуем формулу. Разделим на :
Обозначим 
– эта величина показывает, во сколько раз увеличится вклад. Величину 
, связанную с годовой ставкой, обозначим как 
. В итоге получим более компактную формулу:
В ней связаны три величины: увеличение вклада, годовая ставка и количество лет. Зная две из них, можно найти третью. С операцией возведения в натуральную степень мы знакомы, поэтому можем решить прямую задачу: зная и , найти 
. Т. е. по известной ставке найти увеличение вклада через определенное количество лет. А как же решить две обратные задачи?
Первая – это, зная и , найти . То есть найти такую процентную ставку, чтобы получить нужную сумму через определенное количество лет.
Вторая – зная и , найти . То есть найти количество лет, через которое при заданной ставке мы получим определенную сумму вклада.
Для записи решения этих задач мы введем обозначения.
Если , то говорят, что 
и 
. Подробнее об этих математических операциях и пойдет дальше речь в нашем уроке.
Отметим, что в каждой из этих конструкций присутствуют две переменные: здесь – и 
, здесь – и 
. И это вполне логично, ведь эти обозначения мы ввели, чтобы по значениям двух переменных найти третью.
Может возникнуть вопрос: зачем вводить новые инструменты, если можно просто сказать, что – это ставка, – количество лет, без всяких корней и логарифмов? Дело в том, что они часто встречаются при решении задач и описании явлений и процессов: образования лавин, распада ядер, размножения бактерий и т. д. А для того, что часто встречается или используется, мы обычно придумываем отдельные названия. Это отражается, например, в языке: слон, слониха, слоненок – нам достаточно всего одного корня для трех слов; но для животных, которые рядом с нами, мы придумали разные слова: бык, корова, теленок.
Повторим:
, тогда . То есть – это такое число, которое нужно возвести в степень , чтобы получить .
, тогда . То есть – это такая степень, в которую нужно возвести число , чтобы получить .
Корень натуральной степени
Рассмотрим корень натуральной степени. В тех случаях, когда мы можем просто подобрать нужное число, необходимости в новых обозначениях нет. Если 
, то 
, ведь 
. Причем такое число 
будет единственным. Это можно увидеть по графику 
(см. рис. 1). Есть только одно значение , при котором .
Рис. 1. График функции
Другой пример: 
. Здесь тоже можно подобрать: 
, ведь 
. Будет ли 2 единственным числом? Посмотрим на график 
(см. рис. 2).
Рис. 2. График функции
Значению функции 
соответствуют два противоположных значения . Поэтому, кроме , подойдет еще и 
.
В этих примерах мы обошлись без новых обозначений, поскольку смогли подобрать нужное основание степени. Но, естественно, это не всегда получится. Например, 
. Если мы начнем подбирать из целых чисел, то двух окажется мало (
), а трех – уже много (
. Значит, наше число находится между 2 и 3. Можно и дальше пробовать подбирать значение с десятыми, сотыми, но это будут приближенные значения. Точного решения в десятичной дроби мы никогда не получим. Число будет иррациональным. Поэтому для записи точного значения ввели обозначение: 
– число, которое нужно возвести в куб, чтобы получить 
.
Вспомните: с такой же ситуацией мы сталкивались, когда вводили понятие квадратного корня в уроке Виды чисел. И это не удивительно: квадратный корень – это частный случай корня -й степени. Но именно квадратный корень используется наиболее часто, поэтому в его обозначении 
степень 
опускают и пишут просто 
.
Теперь дадим строгое определение корню натуральной степени: корнем степени 
из числа 
называют такое число, которое при возведении в степень равно .
Как мы видели на примерах, такое число может быть одно, а может и два – в зависимости от вида графика 
. Для нечетных значений оно будет одно, и тут не будет проблем в определении корня -й степени.
А вот для четных мы получим два противоположных значения. Чтобы их различать, положительный корень называют арифметическим корнем -й степени. И именно арифметический корень обозначают как 
. Соответственно, второе число будет 
.
Задание 1. Вычислить:
Решение
1. 
– это корень четной степени. Так что нужно найти такое положительное число, которое при возведении в 
степень будет равно 
. Это число 
: 
. Поэтому 
.
2. 
. Здесь корень нечетной степени. Ищем число, которое при возведении в 
степень равно 
. Это должно быть отрицательное число, чтобы при возведении в степень также получить отрицательное. И это будет число 
, ведь 
. Таким образом, 
.
3. 
. Нужно найти число, которое при возведении в куб будет равно 
. Подбирать долго, поэтому лучше разложить число на простые множители (см. рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к заданию 1
Видим, что 
. Т. е. 
нужно возвести в куб, чтобы получить . Тогда 
.
Ответ: 
.
Перейдем к свойствам корней. Мы уже знаем cвойства квадратного корня. Для всех других корней натуральной степени свойства будут похожи, но с некоторыми особенностями.
1. Для четных значений выражение 
, равное , принимает только неотрицательные значения. Поэтому выражение определено только при 
. При 
выражение не определено.
2. Для четных под обозначением мы понимаем арифметический корень, т. е. неотрицательное число. Значит, 
.
Эти два свойства справедливы только для четных значений 
, для нечетных значений они не выполняются. При нечетных выражение может принимать любые значения, так что под корнем может стоять любое число. И под понимается обычный корень (не арифметический), так что значение также не ограничено.
Действительные и комплексные числа
Мы много раз говорили о том, что числа – это инструмент. Натуральные числа были введены для счета, а дальше мы несколько раз расширяли этот инструмент таким образом, чтобы сохранить свойства, увеличив при этом сферу применимости.
Так, введение отрицательных чисел и 0 позволило определить операцию вычитания для произвольных натуральных чисел (а не только из большего вычитать меньшее). Для этого мы расширили множество чисел до целых.
Введение дробей позволило записывать результат деления произвольных целых чисел (кроме деления на 0). Для этого мы расширили множество чисел до рациональных.
Наконец, множество рациональных чисел мы расширили до действительных, добавив к периодическим и конечным десятичным дробям бесконечные непериодические десятичные дроби. С их помощью можно сколь угодно точно записать такие числа, как 
и т. д.
Это числа, которые нельзя представить в виде дроби 
, где 
– целое, – натуральное. То есть, они не будут рациональными, мы их назвали – иррациональными.
Кажется, что множество действительных чисел должно быть самым большим, и другие числа нам точно не понадобятся (см. рис. 4). Действительно, трудно представить ситуации в жизни большинства людей, в которой они столкнутся с чем-то, что не описывается каким-то действительным числом.
Рис. 4. Множества чисел
Но в математике изучаются инструменты, которые, на первый взгляд, могут быть далеки от реальной жизни, но впоследствии оказываются применимы для решения практических задач.
Множество действительных чисел позволяет выполнять практически любые известные нам операции с числами: складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, извлекать корень. Но все же с одним ограничением мы неоднократно сталкивались: мы договорились извлекать корни только из неотрицательных чисел. Вспомните: если при решении квадратного уравнения получался отрицательный дискриминант, то мы говорили, что у него нет действительных корней. Оговорка «действительных» была важна.
Оказывается, можно расширить понятие числа и доопределить квадратный корень из 
: 
.
То есть, 
– такое число, которое при возведении в квадрат равно :
Этот расширенный инструмент, который называют комплексными числами, сохраняет все известные нам свойства чисел, он используется при решении самых разны практических задач: в теории управления, электромагнетизме, обработке сигналов, картографии и гидродинамике. Более того, в самой математике с помощью функций с комплексными переменными удалось решить ряд задач, которые относятся, например, к теории чисел, то есть области, которая работает с целыми/натуральными числами.
3. Следующее свойство по сути является эквивалентной записью определения: – это число, которое нужно возвести в степень , чтобы получить :
Это свойство справедливо и для четных, и для нечетных значений .
4. Рассмотрим выражение 
. По определению – это такое число, которое при возведении в степень равно 
.
Для нечетных значений это может быть только число . Поэтому:
Для четных значений таким числом может быть как , так и 
. Поскольку для четных это число должно быть неотрицательным, то можно это записать так:
Следующие два свойства мы доказывали для квадратных корней в уроке cвойства квадратного корня. Для корней -й степени они также справедливы и имеют ту же идею доказательства.
5. 
Для четных подразумевается, что и положительны.
6. 
Для четных подразумевается, что и положительны.
Для нечетных значений одно из следствий свойства 5 используется часто, поэтому его можно выделить отдельно:
в любой нечетной степени равна : 
. Следовательно, 
. В итоге получаем свойство для нечетных :
Итак, мы видим, что для четных значений свойства полностью совпадают со свойствами квадратного корня. И это неудивительно, ведь квадратный корень – частный случай корня четной степени. Для нечетных значений свойства схожи, но несколько отличаются: нет ограничений на значения корня и подкоренного выражения, а также не требуется модуль при извлечении корня -й степени из числа в той же степени.
Для упрощения выражений с использованием этих свойств применяются те же приемы, что и для квадратных корней:
- Выделение соответствующей степени под корнем.
- Внесение и вынесение множителя из-под знака корня.
Задание 2. Упростить выражения:
Решение
1. 
. Выделим в подкоренном выражении 
-ю степень:
Тогда:
По свойству корня четной степени :
2. 
. Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы некоторые из них содержали третью степень:
Тогда:
Используя свойства корней, отделим множители с третьей степенью:
По свойству корня нечетной степени :
Тогда:
Ответ: 
.
Степень с действительным показателем
Обратим внимание, что свойства степеней и свойства корней похожи:
С одной стороны, это неудивительно: извлечение корня – операция, обратная возведению в степень. С другой стороны, это наталкивает на мысль, что эти операции можно объединить в одну. Попробуем.
Вернемся к результату, который мы получили в задании 2:
Чтобы его получить, мы представили 
. Затем, используя свойства степеней, получили в ответе третью степень. В общем случае, если есть выражение 
и мы представим 
, то получим:
, следовательно:
Получаем формулу для упрощения подобных корней:
Задание 3. Упростить выражения:
Решение
1.
2.
(т. к. 
принимает только неотрицательные значения).
Ответ: 
.
Мы использовали эти формулы только для таких чисел , которые делятся нацело на . Но их можно обобщить и для произвольного целого числа . Тогда степень будет рациональным числом. Таким образом, мы введем понятие степени с рациональным показателем:
Для однозначности это понятие определяют только для неотрицательных значений основания . Степенью числа неотрицательного числа с рациональным показателем 
называют корень -й степени из в степени :
При таком определении все свойства степени с целым показателем останутся справедливы и для степени с рациональным показателем 
(это наше главное условие для расширения любого математического инструмента):
1. Степень с отрицательным показателем 
определена только для 
:
2. Для степеней с одинаковым показателем выполняются соотношения:
3. Для степеней с одинаковым основанием выполняются соотношения:
Степень с рациональным показателем и ее свойства можно использовать для упрощения: выражения с корнями заменяем на степени и используем свойства степеней.
Задание 4. Упростить числовые и алгебраические выражения:
Решение
1. 
Представляем 
и 
в виде степеней:
Теперь используем свойства степеней:
2. 
Поскольку основание степени больше нуля, можем перейти к степеням:
Используем свойства степеней:
Или, если перейти к корням, 
или просто .
Ответ: 
.
Кроме упрощения выражений, связь между корнем -й степени и степенью с рациональным показателем можно использовать для вычислений на калькуляторе. Заменяете корень на возведение в степень и получаете приближенное значение корня на калькуляторе.
Мы ввели степень с натуральным показателем для короткой записи умножения одинаковых множителей. Далее это понятие расширили до степени с целым показателем. Сейчас мы определили степень с рациональным показателем. Вполне закономерно расширить понятие степени и дальше и определить его для иррациональных чисел. Тогда мы получим возможность работать с так называемыми показательными выражениями вида 
, где – любое действительное число.
Вспомним, какие числа называют иррациональными. Это такие числа, которые нельзя представить в виде дроби . Но их значения можно приближенно записать с помощью десятичной дроби. Причем чем больше знаков после запятой мы берем, тем точнее получаем значение. Например, для 
: 
; 
; 
; 
и т. д. Каждая такая десятичная дробь все ближе и ближе к точному значению . Или, еще говорят, «последовательность этих десятичных дробей сходится к ».
Именно с помощью такого приближения мы можем определить степень с иррациональным показателем. Что значат выражения 
мы знаем: это степени с рациональным показателем. Десятичные дроби мы всегда можем перевести в обычные вида . Тогда последовательность чисел: 
, где степени – это последовательные приближения числа , будет сходиться к числу 
.
Аналогичным образом мы можем определить выражение с любой другой иррациональной степенью. При этом все свойства степеней останутся справедливыми.
Понятие логарифма
Мы подробно разобрали одну из обратных задач: как из выражения найти неизвестное основание степени . Теперь перейдем ко второй обратной задаче: как найти неизвестную степень , зная и .
Как мы уже упоминали, подобные задачи могут встречаться при рассмотрении сложных процентов, распространении лавин, размножении бактерий, распаде ядер. Но можно рассмотреть и более простой пример.
Задание 5. Есть несколько коробок, в одной из которых лежит монета. Какое минимальное количество вопросов с ответом «да» или «нет» можно задать, чтобы точно определить, где лежит монета? Решить задачу, если было:
1. коробок;
2. 
коробок.
Решение
Начнем с пункта 1. Конечно, можно задавать вопросы, лежит ли в этой коробке монета. И если вам повезет, вы найдете ее после первого же ответа. Но в худшем случае вам придется спросить 7 раз. Можно ли справиться за меньшее число вопросов?
В ответ мы можем получить 2 варианта: «да» или «нет». Поэтому за каждый вопрос мы можем отсеивать половину коробок.
- 1-й вопрос: монета в первых четырех коробках? Любой из ответов уберет половину коробок.
- 2-й вопрос: монета в первых двух коробках? Опять убираем половину.
- 3-й вопрос: монета в первой коробке? Ответ точно укажет на монету.
Итак, достаточно трех вопросов.
Перейдем к пункту 2. Здесь можно задавать аналогичные вопросы, уменьшая каждый раз количество коробок в раза. Сколько же вопросов нужно? Составим математическую модель. Было коробок, после первого вопроса останется 
коробок; после второго 
, после третьего: 
и т. д. После вопросов останется 
коробок. И чтобы однозначно определить, где монета, это должна быть одна коробка: 
:
Видим, что наша задача свелась к решению уравнения, неизвестным в котором является степень. Здесь степень можно подобрать, разложив на простые множители:
. Т. е. 
. Но так легко подобрать решение такого уравнения получится не всегда.
Ответ: 
.
Рассмотрим уравнение: 
. Начнем подбирать. 
мало: 
. – уже много: 
. Т. е. значение больше 
, но меньше . Мы уже знакомы с понятием рациональной степени, так что это не должно нас смущать. Подбираем дальше:
, тогда 
– мало. Можно так подбирать и дальше, но это будут приближенные значения. Для точного значения снова нужно ввести новое обозначение: 
. В основание логарифма записывают основание степени, а под логарифм – число, которое в итоге должны получить.
В общем случае можно сказать так: решением уравнения 
является число 
. Это решение является единственным, что можно показать с помощью графика функции 
(см. рис. 5). C этим графиком мы познакомимся на следующем уроке, а пока примем это утверждение без доказательства.
Рис. 5. График функции
Логарифмом числа 
по основанию называется такая степень, в которую нужно возвести , чтобы получить число .
Задание 6. Найти значения выражений:
Решение
1. . В какую степень нужно возвести 
, чтобы получить 
? Это третья степень:
Значит, 
.
2. . В какую степень нужно возвести 
, чтобы получить 
? Сразу сложно дать ответ. Попробуем перевести в обычную дробь: 
. Если мы возведем в минус первую степень, то как раз получим 
: 
. Значит, 
.
Ответ: 
.
Для логарифмов с некоторыми основаниями есть специальные обозначения (мы уже говорили почему: то, что часто используем, выделяем и называем отдельно). Логарифм с основанием 
называют десятичным логарифмом и обозначают как 
. Например: 
– это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .
Логарифмы с этим основанием выделяют отдельно, поскольку мы используем десятичную систему счисления.
Например, значение десятичного логарифма показывает количество цифр в десятичной записи числа. Действительно, все 5-значные числа – это числа, которые больше 
и меньше 
. Десятичный логарифм первого равен , второго – . Все натуральные числа, десятичный логарифм которых лежит в промежутке 
будут 5-значными.
Также есть отдельное обозначение для логарифма, в основании которого стоит число e(число Эйлера) – математическая константа, иррациональное число, приблизительное значение которого равно 
. Такие логарифмы называются натуральными логарифмами и обозначаются как 
. Например, 
– это степень, в которую нужно возвести число
, чтобы получить . Подробнее о числе Эйлера вы можете узнать из ответвления.
Число Эйлера
Чтобы прийти к числу Эйлера, рассмотрим формулу сложных процентов:
Это формула подразумевает, что проценты начисляются 1 раз в год. Посмотрим, что будет с вкладом, если проценты будут начисляться чаще. Для простоты рассмотрим 
, т. е. 1 год, и процентную ставку в 
. Для 1 начисления в год получим:
Тут понятно: вклад удвоится. А что, если проценты будут начисляться 2 раза в год? С той же годовой процентной ставкой каждый раз будет начисляться по 
. Всего будет 2 начисления, т. е. получим:
Увеличение вклада уже больше. И понятно почему: первые 
начислили на начальную сумму, а вторые – уже на увеличенную. Вот и результат больше. Смотрим дальше.
Если будут начислять ежемесячно, то всего начислений будет 12 и каждый раз будет начисляться по 
:
Полученная сумма еще больше. В общем случае для 
начислений в год:
Кажется, что с увеличением результат будет расти все больше и больше. Скажем, если бы проценты начислялись каждый день, то мы бы получили через год раз в 5–6 больше, чем положили. Но это не так: какое бы большое число мы ни взяли, 
будет очень близко, но не превзойдет некоторый предел, около 
, который и обозначили как – число Эйлера. И если бы мы могли взять настолько большое , что проценты бы начислялись непрерывно, то через год мы бы получили сумму ровно в раз больше:
Строго это записывают так:
Если же мы захотим вычислить величину вклада через x лет, то при непрерывном начислении процентов получим:
Мы привели пример использования числа в сложных процентах, но подобной зависимостью удобно описать и множество других процессов, о которых мы ранее упоминали (распад ядер, образование лавин, размножение бактерий). В основании степени стоит , значит, при решении обратных задач будут возникать логарифмы с основанием . Вот для них и ввели отдельное обозначение: 
.
О том, почему указанные процессы удобно описать степенью именно с основанием , вы узнаете позже, изучая тему «Производные и интегралы».
Свойства логарифмов
Мы ввели новый для нас инструмент – логарифм числа. И чтобы его правильно использовать, нужно четко определить рамки его применимости, а также вывести свойства.
Мы определили логарифм как решение уравнения . – это степень в этом уравнении, а понятие степени мы определили для всех действительных чисел. Поэтому ограничений у значения нет.
Рациональную и иррациональную степени мы определили только для неотрицательных оснований: . Отрицательная степень определена только для . Поэтому для произвольной степени
выражение имеет смысл только при 
Также отдельно стоит выделить основание 
. 
при любых значениях . Поэтому решение уравнения 
не удастся записать с помощью логарифма. При 
корнями уравнения являются все действительные числа; при
уравнение не имеет корней. Поэтому вводить логарифм с основанием 1 не имеет смысла. Итак: 
Если мы будем положительное число будем возводить в любую степень, то будем также получать только положительные значения. Поэтому и 
. В итоге получили границы применимости нашего инструмента. Выражение имеет смысл при 
. Выражение может принимать любые значения:
Перейдем к свойствам логарифма.
1. Первое свойство – это эквивалентная запись определения:
– это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .Это соотношение еще называют основным логарифмическим тождеством.
2. 
– это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить . Естественно, это степень равна :
Следующие свойства логарифмов следуют из свойств степеней.
3. Любое число в нулевое степени равно 1:
Следовательно:
Любое число в первой степен равно себе же:
Следовательно:
4. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
Логарифмы – это и есть показатели степени, поэтому логарифм произведения равен сумме логарифмов:
5. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
Соответственно, логарифм от деления равен разности логарифмов:
6. 
Если логарифм берется от выражения со степенью, то эту степень можно вынести перед логарифмом как множитель ().
7. 
Если в основании логарифма стоит выражение со степенью, то эту степень можно вынести перед логарифмом в знаменатель (
).
8. 
Это формула называется формулой перехода к новому основанию. Мы записываем дробь, в числителе и знаменателе логарифмы с новым основанием 
. В числитель пишем то, что было выше (от чего берется логарифм), в знаменатель пишем то, что было ниже (основание логарифма). Эта формула будет нам полезна при преобразовании различных выражений, содержащих логарифмы, так как позволяет свести их все к одному основанию. С доказательством свойств 4–8 вы можете ознакомиться в ответвлении.
Доказательства свойств логарифмов
4. 
Используя определение логарифма, можно записать:
Тогда левая часть будет равна:
По свойству степеней:
Получим:
По второму свойству, это выражение равно 
, что и требовалось доказать.
Аналогичным образом доказываются следующие свойства:
5. 
6. 
7. Для доказательства (
, немного преобразуем выражение для :
Тогда:
8. 
Представим:
Тогда:
По свойству 7, выносим степень из основания логарифма:
Все эти свойства можно применять для упрощения и вычисления логарифмических выражений. Потренироваться их применять в простейших случаях вы можете с помощью тестов и тренажеров, а более сложные задачи мы рассмотрим на практическом занятии.
Список литературы
- Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10–11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
- Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10–11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
- Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Вычислить:
- Упростить выражение:
- Известно, что
. Вычислить: 
