Математика

Степенные функции с целым показателем

 

Каждый из нас ежедневно получает и передает огромное количество информации. Вы выставляете фото в социальные сети, шутите с друзьями, выполняете домашние задания – все это передача информации. Но важно не только что это за информация, но и то, как вы ее подаете. Вы же хотите, чтобы друг понял шутку; а учитель справедливо оценил работу? Важна не только суть, но и форма.

 

Представьте, что менеджер делает отчет: «В январе мы получили прибыль 150 млн 460 тыс. рублей, в феврале – 123 млн рублей и так далее». Как думаете, будет ли понятно слушателям? Но если построить график, сразу все станет ясно: когда прибыль росла, когда падала, когда была наименьшей. Данные одни и те же, но графическая форма подачи в данной ситуации воспринимается лучше.

Ранее в школьном курсе вы уже сталкивались с графическим представлением данных (Свойства функций. Базовые функции; Обратные функции. Базовый уровень). Это были графики различных функций: линейной, квадратичной, функции квадратного корня, тригонометрических и обратных тригонометрическим. Построив эти графики, мы могли получить наглядную информацию о поведении функции: когда она возрастает, убывает, когда равна нулю.

Сегодня мы с вами познакомимся с новыми графиками функций и изучим их свойства. Вы уже знаете, что многие процессы, например расчет сложных процентов, можно описать с помощью формулы: . Об этом равенстве еще можно сказать так:  зависит от  и . Это есть не что иное, как определение функции двух переменных:

Но с функцией двух переменных работать не очень удобно: ее график придется изображать в трехмерных координатах (см. рис. 1).

Рис. 1. График в трехмерных координатах

И мы потеряем главное преимущество графиков – наглядность. Для изучения свойств функции двух переменных лучше поступить так: зафиксировать один аргумент и смотреть за изменением другого.

Можно зафиксировать показатель степени  и оставить зависимость только от основания . Тогда получим функцию:

Или в привычных обозначениях:

Такие функции называются степенными, ведь аргумент  возводится в степень.

Можно зафиксировать значение основания степени  и рассматривать зависимость от показателя . Получим функцию вида  или в привычных обозначениях . Такие функции называют показательными, ведь аргумент стоит в показателе степени. Именно о степенных и показательных функциях, а также обратных им мы и поговорим.

Начнем со степенных функций (Свойства функций. Базовые функции):

Мы расширили понятие степени для любого действительного значения , поэтому сможем изучить различные виды графиков в зависимости от показателя степени. Изначально понятие степени мы вводили для натуральных показателей степени, поэтому с них и начнем. При  получим линейную функцию:

При  получим квадратичную функцию:

При  получим кубическую функцию (см. рис. 2):

Рис. 2. Графики функций , ,

Графики и свойства всех этих функций вы уже знаете. Если мы будем и дальше строить графики функций для  и т. д., то увидим закономерность.

При четных значениях  все графики будут похожи на квадратичную параболу (см. рис. 3).

Рис. 3. Графики функций ,

Графики будут иметь те же свойства.

1.      Область определения:

2.      Область значений:

3.      Функция четная:

4.   Возрастает при положительных аргументах  и убывает при отрицательных .

При нечетных значениях  графики функций будут похожи на кубическую параболу (см. рис. 4).

Рис. 4. Графики функций ,

Графики будут иметь те же свойства.

1.      Область определения:

2.      Область значений:

3.      Функция нечетная:

4.   Возрастает на всей области определения: .

Перейдем к целым неположительным значениям . По определению нулевой степени,  для всех . При  выражение не определено. То есть график функции  будет выглядеть как прямая  с выколотой точкой (см. рис. 5).

Рис. 5. График функции

По определению степени с целым отрицательным показателем:

В частности, при  получим:

С этой функцией вы уже знакомы – это обратная пропорциональность (см. рис. 6).

Рис. 6. График функции

1.      Область определения:

2.   Область значений:

3.      График – гипербола;

4.      Функция является нечетной:

Для других отрицательных целых  графики также будут гиперболами. При этом для нечетных  функции будут нечетными. График будет симметричным относительно начала координат, и ветви гиперболы будут располагаться в I и III четвертях (см. рис. 7).

Рис. 7. График функции

А вот при четных отрицательных  функции будут четными. График будет симметричными относительно оси  и ветви гиперболы будут располагаться в I и II четвертях (см. рис. 8).

Рис. 8. График функции

 

Степенные функции с рациональным и действительным показателем

 

 

Рассмотрим дробные (рациональные) показатели степени. Вспомним, что понятие степени для рациональных показателей мы расширили с использованием корня натуральной степени:

 

Поэтому для начала рассмотрим функции корней натуральной степени:

С одной такой функцией вы уже знакомы. При  это будет функция квадратного корня:

Ее график – ветвь параболы (см. рис. 9).

Рис. 9. График функции

И это не просто так: эта функция является обратной функции . Поэтому график функции  симметричен правой ветви параболы относительно прямой  (см. рис. 10). Подробнее об этом мы говорили на уроке Свойства функций. Базовые функции.

Рис. 10. График функции  симметричен правой ветви параболы относительно прямой

Для других корней четной степени ситуация будет аналогичной. Функции ,  и т. д. будут обратными для функций  и т. д. Их графики будут симметричны правым ветвям соответствующих парабол относительно прямой  (см. рис. 11).

Рис. 11. Графики функций ,  симметричны правым ветвям соответствующих парабол ,  относительно прямой

Их свойства такие же, как и у функции квадратного корня.

1.      Область определения:

2.      Область значений:

3.      Функция возрастающая.

Для корней нечетной степени ситуация отличается. Если из равенства  выразить  через , то получим: . В отличие от корней четной степени нам удалось выразить  однозначно. Поэтому график функции  будет симметричен всему графику  относительно прямой  (см. рис. 12).

Рис. 12. График функции  симметричен графику  относительно прямой

По графику видно следующее.

1.      Область определения:

2.      Область значений:

3.      Функция возрастающая.

То, что мы получили разные области определения и значения для корней четной и нечетной степени, неудивительно. Это мы знали еще из свойств корней. Для четных  выражение  имеет смысл при  и значениях . Для нечетных  таких ограничений нет.

Вернемся к степенным функциям. Степень с рациональным показателем мы определили следующим образом:

Таким образом, графики функций  и  будут совпадать для (см. рис. 13).

Рис. 13. Графики функций  и  совпадают для

Для четных  это будет весь график корня четной степени. А вот для нечетных  нужно будет оставить только правую часть графика соответствующего корня, где .

Сравним: графики и  одинаковы (см. рис. 14).

Рис. 14. Графики функций и  

Графики и : в степенной функции оставили только правую часть (см. рис. 15).

Рис. 15. Графики функций и

Аналогично для всех других четных и нечетных значений .

В общем случае для положительных рациональных степеней графики  будут выглядеть так (см. рис. 16) при  и так (см. рис. 17) при . Это будут возрастающие функции с областью определения:  и областью значений: . Это же касается и любой положительной действительной степени.

Рис. 16. График функции  при

Рис. 17. График функции  при

Если степень будет отрицательной, то графики будут иметь вид гиперболы (см. рис. 18). Причем она будет располагаться только в первой четверти, ведь степень с рациональным и действительным показателем определена только для неотрицательных значений . Функция убывающая, область определения:  и область значений: .

Рис. 18. График функции  при

Чтобы не запутаться во всех этих видах графиков, немного упорядочим полученные знания. Сравним графики и свойства степенных функций  для различных значений .

Степенные функции при и при  существенно различаются. С положительным показателем графики функций – параболы; с отрицательным – гиперболы (см. рис. 19).

Рис. 19. Графики степенных функций при и при

При  посмотрим на первую четверть. В ней все функции будут возрастающими.

При  график будет прямой, при  будет «изгибаться» вниз, при  «изгибаться» вверх.

Для всех нецелых  это будет и весь график.

Для целых четных  добавится еще часть графика во второй четверти, симметричная исходной относительно оси .

Для целых нечетных  добавится еще часть график в третьей четверти, симметричная исходной относительно начала координат.

Посмотрим на первую четверть при . В ней все функции будут убывающими.

Для всех нецелых  это будет и весь график.

Для целых четных  добавится еще часть графика во второй четверти, симметричная исходной относительно оси .

Для целых нечетных  добавится еще часть графика в третьей четверти, симметричная исходной относительно начала координат.

 

Показательная функция

 

 

Итак, мы рассмотрели степенные функции. Теперь перейдем к показательным функциям:

 

Показатель  может принимать любые действительные значения (мы расширили понятие степени для любого действительного показателя). Получаем область определения таких функций: .

Понятие степени с действительным показателем определено только для положительных оснований, поэтому мы будем рассматривать графики функций только для случаев.

Пока что это все, что мы можем сказать про показательные функции. Со степенными функциями было проще – мы изучали их частные случаи и смогли их обобщить. Подобных же функций мы не рассматривали, поэтому начнем исследование с рассмотрения частных случаев.

Если , то получим функцию:

Единица в любой степени равна . Таким образом, получаем функцию  (см. рис. 20). Ее график – прямая, параллельная оси .

Рис. 20. График функции

Если , получим функцию . Попробуем построить ее график по точкам:

Получили достаточное количество точек, попробуем их соединить (см. рис. 21).

Рис. 21. Эскиз графика функции

Для чисел больше 3 значения будут становиться все больше и больше. Для чисел меньших  значения будут уменьшаться и дальше:  и т. д. При этом они никогда не достигнут нуля и не станут меньше нуля.

Получили вот такой эскиз графика. Что можно про него сказать? Видим, что область значений – все положительные числа. И это неудивительно: возводя положительное число 2 в любую действительную степень, мы не можем получить отрицательное число или 0.

Видим, что функция является возрастающей. У графика нет симметрии, то есть функция ни четная, ни нечетная, также она не является периодической.

Мы рассмотрели частный случай для . В общем случае при  мы будем получать аналогичные графики и свойства функции .

1.      Область определения:

2.      Область значений:

3.      Функция возрастающая.

При этом . Следовательно, любая подобная функция пересекает ось  в точке .

Чтобы построить график функции  для других значений основания, поступим следующим образом. Рассмотрим функцию  для . Аргумент мы умножили на , следовательно, график функции отобразится симметрично относительно оси  (см. рис. 22).

Рис. 22. График функции отобразили относительно оси

С другой стороны:

Обозначим:

Тогда:

И поскольку , то:

Значит:

Таким образом, мы получили график функции  при . Видим, что область определений по-прежнему , область значений , но функция уже убывающая.

Посмотрим еще раз на графики функций для различных значений основания (см. рис. 23).

Рис. 23. Графики функций для различных значений основания

Обратим внимание, что при  функция быстро возрастает. Проявления этого можно наблюдать непосредственно в жизни. Так, процессы образования лавин описываются с помощью показательной функции. Лавины очень быстро нарастают, что становится опасным для окружающих людей и животных. По этой прямой ассоциации многие процессы, которые описываются показательной функцией, еще называют лавинообразными.

Про несколько интересных применений быстрого возрастания показательной функции вы можете узнать из ответвления.

---

 

Данетки и «Акинатор»

Насколько много можно рассказать, отвечая на вопросы лишь «да» или «нет»? Оказывается, очень много! И это можно описать, используя свойства показательной функции.

Возможно, вы играли в так называемые данетки. Если нет, то вот правила: один игрок загадывает ситуацию, остальные пытаются отгадать ее, задавая вопросы, на которые можно отвечать лишь «да» или «нет». Казалось бы, ситуаций может быть бесчисленное множество! Но отгадать все равно можно. И дело тут вот в чем.

Вспомним комбинаторику. На 1 вопрос есть 2 варианта ответа: «да» – «нет». Если задать еще один вопрос, всего будет  варианта ответов. Еще один вопрос – еще умножаем на . И так далее. Задав  вопросов, мы можем получить  разных набора ответов. Задав  – миллиард разных ответов. В общем случае количество возможных ответов  можно описать как:

Это показательная функция, она растет очень быстро. Чем больше вопросов вы будете задавать, тем больше будет возможных наборов ответов. И в итоге вы сможете разгадать любую ситуацию.

Еще один пример – игра «Акинатор». Программа угадывает загаданного вами персонажа по ответам на относительно небольшое число вопросов. Принцип тот же: набор персонажей, конечно, большой, это и исторические, и литературные, и киногерои. Но все же набор ограничен, а показательная функция – нет, и растет она быстро. Поэтому в конце концов «Акинатор» угадает задуманного вами героя.

Правда, стоит уточнить, что нужно задавать правильные вопросы, чтобы каждый из них отбрасывал как можно больше вариантов. В идеале – половину. Только тогда алгоритм угадывания будет максимально эффективным.

---

Также обратим внимание на убывающую показательную функцию. С ее помощью, к примеру, описывают процесс радиоактивного распада. С увеличением аргумента значения функции уменьшаются, но не достигают нуля. Для радиоактивного распада это означает, что масса радиоактивных элементов в образце со временем будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля. И по оставшейся части радиоактивных частиц можно приблизительно определить возраст образца. Это метод получил название радиоизотопного датирования.

 

Логарифмическая функция. Логарифмический масштаб

 

 

В курсе алгебры мы уже неоднократно сталкивались с обратными задачами. Чтобы найти число по его квадрату, мы ввели обратную операцию – извлечение квадратного корня. Чтобы решить тригонометрические уравнения, вводили обратные тригонометрические функции.

 

Логарифм же мы вводили для того, чтобы найти неизвестную степень. Так, если , то степень  мы обозначили как:

В функции  мы выразили аргумент:

Меняем обозначения и получаем функцию  – функцию, обратную показательной.

Графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой . Мы можем легко получить графики логарифмических функций из графиков соответствующих показательных функций.

При  отображаем показательную функцию относительно прямой, получаем график. При  аналогично отображаем, получаем следующий график (см. рис. 24). Случай  не рассматриваем, поскольку основание логарифма не равно .

 

Рис. 24. Графики логарифмических функций

Охарактеризуем полученные графики.

1.      Область определения:

2.      Область значений:

3.   При  функция возрастает, при  – убывает.

4.      Функция общего вида, непериодическая.

Поскольку  для любого , то . График пересекает ось  в точке .

Итак, мы с вами рассмотрели графики и свойства различных степенных, показательных и логарифмических функций. Все случаи для этих графиков запоминать не стоит: при необходимости вы сможете воспроизвести их, построив графики по точкам. Но нужно иметь общее представление о внешнем виде этих графиков, уметь воспроизвести эскиз.

Так, представляя эскиз графика, вы сразу сможете сказать: убывающая или возрастающая функция. Эти сведения пригодятся нам для решения уравнений и неравенств. Кроме того, получив какой-то набор данных, вы сможете описать тип зависимости – показательную, степенную, логарифмическую. Это поможет предсказать дальнейшее протекание процесса.

В конце урока мы рассмотрим, как еще логарифмы могут помочь в правильной подаче информации. Допустим, вы ведете учет количества кроликов, живущих на ферме. В начале было . Через год их стало уже , еще через год – ; дальше . Слишком много! Вы хотите рассказать об этой проблеме и решаете составить график чтобы показать, как быстро увеличивается их количество.

Берем масштаб: 1 год, 6 кроликов. Ставим точки:    – дальше уже нужно слишком много клеток (см. рис. 25).

Рис. 25. Эскиз графика, масштаб

Выберем больший масштаб, чтобы хватило для числа . Возьмем  год,  кроликов. Для 4-го, 5-го, 6-го года удобно поставить точки; для 1-го, 2-го, 3-го года они почти на одном уровне (см. рис. 26). Непонятно, сколько было в начале. Как же быть в такой ситуации?

Рис. 26. Эскиз графика, масштаб

По сути, проблема заключается в том, что рост популяции кроликов описывается показательной функцией вида . И сложно подобрать масштаб, чтобы и для малых, и для больших аргументов удобно было отмечать точки.

Чтобы построить наглядный график показательной функции, нужно ее прологарифмировать. То есть записать логарифм от левой и от правой части равенства:

Если выражения равны, то будут равны и их логарифмы. Причем логарифм можно использовать с любым основанием. Обычно это десятичный или натуральный логарифм.

Теперь, используя свойства логарифма, получаем:

 – это фиксированное число, обозначим его . Получим:

Теперь, мы можем по вертикальной оси отметить не , а . И получим линейный график () (см. рис. 27). А для линейного графика масштаб подобрать намного проще.

Рис. 27. Построение графика показательной функции в логарифмическом масштабе

Такой масштаб оси называют логарифмическим масштабом, т. к. мы откладываем вдоль оси не саму величину, а ее логарифм. Логарифмический масштаб применяется в графиках многих нелинейных процессах: механических, электрических, ядерных, экономических. Ведь он позволяет нелинейные графики превратить в прямые линии, с которым намного удобнее работать.

Также логарифмический масштаб удобно использовать для шкалы звуковых волн. Мы слышим в диапазоне частот от  до  Гц. И если брать обычную шкалу, то «потеряются» или нижние, или верхние значения, как это было с кроликами. А вот если взять логарифмический масштаб, например десятичный логарифм частоты, то получим удобную шкалу.

 

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru
2. Интернет-портал uztest.ru
3. Интернет-портал webmath.ru

 

Домашнее задание

1. Найти точки пересечения графиков функций: ,  
2. Построить график функции:  
3. Найти наибольшее значение функции: