Математика

 

 

Тема: Тригонометрические уравнения

 

Урок: Первые представления о решении тригонометрических уравнений

 

1. Тема урока, введение

 

 

Мы рассмотрим и решим простейшие тригонометрические уравнения вида

 

.

 

2. Решение уравнения вида sinx=a

 

 

Пример 1. Решить уравнение

 

Решение:

Решить уравнение – это найти множество всех значений  при каждом из которых  Это уравнение имеет решение, т.к. число  входит в множество значений синуса. На линии синусов отметим  проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью и получим точки  (рис. 1). Только эти две точки имеют ординату  

Полученным точкам соответствуют множества действительных чисел  

Проиллюстрируем решение того же уравнения на графике.

Для того, чтобы решить уравнение  необходимо построить графики функций  и найти абсциссы точек их пересечения (рис. 2).

Ответ:

 

3. Решение уравнения вида cosx=a

 

 

Пример 2. Решить уравнение

 

Решение:

Число  значит, уравнение имеет решения.

Требуется найти множество всех  при каждом из которых

Отметим на линии косинусов точку  проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью и получим две точки –  (рис. 3).

Полученным точкам соответствуют множества действительных чисел  

Ответ:

Проиллюстрируем решение на графике функции (рис. 4).

Ответ:

 

4. Решение уравнения вида tgx=a

 

 

Пример 3. Решить уравнение

 

Решение:

На линии тангенсов отложим  Соединим эту точку с центром числовой окружности и получим две точки пересечения с окружностью –  (рис. 5).

Точке M соответствует множество чисел  Точке  соответствует множество чисел  Эти два  множества чисел можно записать в виде  

Проиллюстрируем решение на графике (рис. 6).

Ответ:

 

5. Решение уравнения вида ctgx=a

 

 

Пример 4. Решить уравнение

 

Решение:

Отметим на линии котангенсов точку  Соединим её с началом координат и получим на окружности две точки –  (рис. 7).

Возможна и другая запись:

Проиллюстрируем решение на графике (рис. 8).

Ответ:

 

6. Решение простейших тригонометрических уравнений

 

 

Рассмотрим часто встречающиеся простейшие уравнения:

 

a)  Рис. 9.

b) 

 

7. Вывод, заключение

 

 

Мы решили простейшие тригонометрические уравнения с табличными значениями в правой части. В дальнейшем мы будем решать уравнения, в которых правая часть принимает не только табличные значения.

 

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 22.1, 22.8, 22.17, 22.19.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).