Математика

 

 

Тема: Тригонометрические уравнения

 

Урок: Арккосинус

 

1. Тема урока, введение

 

 

На этом уроке мы познакомимся с понятием арккосинус и решим типовые задачи.

 

 

2. График функции y=cost, введение понятия арккосинуса

 

 

Рассмотрим график функции

 

Построим график по точкам. Отметим на оси абсцисс точки кратные

Отметим точки, кратные

Для всех этих аргументов нам известны значения функции, отметим их на оси ординат (рис. 1).

Почему был выбран именно промежуток  

1. На этом промежутке функция пробегает все свои значения от  до .

2. На этом промежутке функция монотонно убывает. Если  то функция убывает,

Мы задали функцию, а значит, есть две задачи – прямая и обратная.

Прямая задача: задаем значение  получаем значение .

Например: Если  если

Обратная задача: какие значения аргумента из промежутка соответствуют заданному значению функции?

Если  если  если

Единственное решение обратной задачи обеспечивает монотонность функции на промежутке .

При каких значениях аргумента достигается значение функции  (рис. 2).

А как определить, как назвать это число

Значение аргумента  косинус которого равен , называется арккосинусом числа

Каждому  соответствует единственное , и наоборот, каждое значение  достигается при единственном значении аргумента из промежутка , это значение  и называется арккосинусом числа .

Пример:

По графику функции мы можем считывать значения арккосинуса.

 

3. Определение арккосинуса

 

 

Дадим строгое определение арккосинуса.

 

Определение: Если  это такое число из отрезка  косинус которого равен

Пример:

 

4. Теорема о свойствах арккосинуса

 

 

Рассмотрим важное свойство арккосинуса:

 

Теорема:

Для любого  выполняется равенство:

Доказательство:

Рассмотрим числовую окружность (рис. 3).

 множество значений арккосинуса.

Если  то

Теорема доказана.

 

5. Решение задач

 

 

Задача 1. Сравнить числа:

 

Решение (рис. 4).

Функция монотонно убывает, поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ:

Задача 2. Вычислить

Решение:

Ответ:

Задача 3. Вычислить

Решение:

По теореме о свойствах арккосинуса

Ответ:

 

6. Вывод, заключение

 

 

Мы рассмотрели понятие арккосинуса, научились вычислять и считывать значения арккосинуса с помощью графика и с помощью числовой окружности. Решили триповые задачи. На следующем уроке мы используем арккосинус для решения тригонометрических уравнений.

 

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.13 – 21.15, 21.17, 21.23, 21.47

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).