Математика

 

 

Тема: Тригонометрические уравнения

 

Урок: Арксинус

 

1. Тема урока, введение

 

 

Мы знаем, что такое арккосинус, и можем решать уравнения вида  Познакомимся с понятием арксинус.

 

 

2. График функции y=sint, понятие арксинуса

 

 

Подробно рассмотрим построение графика функции

 

Отмечаем на оси x аргументы, кратные  Значения функции для этих аргументов являются табличными и хорошо нам известны. Строим график по полученным точкам (рис. 1).

Мы выбрали промежуток  т.к. на нем функция принимает все свои значения от  до . Также на данном промежутке функция  монотонно возрастает. Это значит, что и прямая, и обратная задачи имеют единственное решение.

Задали значение функции – получили единственное значение аргумента из промежутка . Например, значение  достигается только при  значение   достигается только при

 

3. Определение и свойства арксинуса

 

 

Зададим произвольное  (рис. 2). Оно достигается при единственном значении аргумента  называется арксинусом

 

Арксинус – это такой угол из заданного отрезка , синус которого равен

Определение: Если  то арксинус  это такое число  из отрезка , синус которого равен

Покажем на графике (рис. 3).

Например:

Нахождение арксинуса – это решение обратной задачи для исходной функции: по значению синуса найти соответствующее значение аргумента. Это можно сделать не только на графике, но и на числовой окружности.

Арксинусы располагаются на дуге  (рис. 4).

Рисунок наглядно показывает, что, например:

Отметим важное свойство арксинуса:

Покажем это на числовой окружности. Отметим на оси y числа  (рис. 5).

Числу  соответствует дуга  числу  – дуга  Эти дуги равны по величине, но противоположны по знаку, значит, их сумма равна нулю.

Например:

 

4. Решение задач

 

 

Рассмотрим типовые вычислительные задачи.

 

Задача 1. Вычислить:

Решение:

Значения арксинусов можно определять по графику (рис. 1).

Ответ:

Задача 2. Сравнить

Решение:

На отрезке  значение 0,9 достигается при единственном значении аргумента, это  Значение 0,1 также достигается при единственном значении аргумента, это  На отрезке  функция монотонно возрастает (рис. 6).

Задача 3. Вычислить:

a) 

b) 

Решение:

При решении подобных задач используется следующий приём:

1. Арксинус обозначается за

2. Расписывается определение арксинуса.

a)

Укажем еще один способ решения той же задачи.

По условию нам дан угол в прямоугольном треугольнике, и его синус равен   т.е. гипотенузу можно обозначить  противолежащий катет   (рис. 7).

Легко найти прилежащий катет, он равен  получаем египетский треугольник.

Теперь можем найти косинус угла

Ответ:

b) 

Эту задачу также можно решить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 8).

Ответ:

 

5. Свойство арккосинуса и арксинуса, доказательство тождества

 

 

Задача 4: Доказать тождество:

 

Проиллюстрируем тождество на числовой окружности (рис. 9).

На линии косинусов отметим число  проведём перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку  В полученном прямоугольном треугольнике катет равен  гипотенуза равна 1.

Такое же значение  отложим на линии синусов. Проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку  В этом прямоугольном треугольнике катет также равен  гипотенуза равна 1.

Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство углов:

 а значит

Доказательство:

Пусть

Следует доказать:

Определим промежутки, которым принадлежат углы

Оба угла принадлежат промежутку, на котором   монотонно убывает, поэтому из равенства косинусов будет следовать равенство аргументов.

Вычислим

Тождество доказано.

 

6. Вывод, заключение

 

 

Мы рассмотрели арксинус и решили некоторые типовые задачи. На следующем уроке мы используем арксинус для решения уравнения

 

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.1 – 21.5, 21.46.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).