Математика

 

 

Тема: Повторение курса алгебры 10 класса

 

Урок: Тригонометрические функции x = sin t, y = cos t

 

1. Определение функции

 

 

Функцией  называется закон, по которому каждому допустимому значению x ставится в соответствие единственное значение .

 

x – аргумент, независимая переменная

y – функция, зависимая переменная

X – область определения. Обозначается D(f)

Y – область значений. Обозначается E(f)

 

2. Определение функцій x = sin t, y = cos t

 

 

Наша цель – вспомнить, что означает  и понять, что .

 

Вспомним определения конкретных функций .

Рассмотрим координатную плоскость  и единичную окружность на ней (Рис. 1).

Рис. 1.

Любое число  высекает единственную точку  на этой окружности. Это объясняется тем, что любому числу  соответствует единственная длина дуги: если число положительное, то откладываем  против часовой стрелки, если нет – то по часовой стрелке.

Эта точка  будет иметь две координаты. То есть . Назовем .  Запишем это кратко:

1. ;

2. ;

 – абсцисса т..

 – ордината т. .

3.  – линия косинусов.

 – линия синусов.

 

3. Cвязь числового и углового аргумента

 

 

Числовой и угловой коэффициенты

 

Рис. 2.

Напомним, что .

То есть точку  можно получить через  (длину дуги), а можно через угол  (в радианах) (Рис. 2).

Тогда . В силу этого равенства .

Угол  определен следующим образом .

 

4. Радиан и градус

 

 

Угол можно измерять в градусах и радианах.

 

Радиан – это такой центральный угол, дуга которого равна  (Рис. 3).

Рис. 3.

1. Радиан: .

2. Число  – отношение длины окружности к ее диаметру.

Для любых окружностей получим одно и то же число:

Тогда можно выразить длину окружности .

3. Связь градусов и радиан:  .

Отсюда

Отметим часто используемые углы:

.

.

Через радиан удобно выражаются многие величины. В том числе и длина дуги.

 

5. Длина дуги и величины угла

 

 

Длина угла и величина дуги.

 

Вернемся к Рис. 2.

.

.

Поскольку , то .

Мы подтвердили связь между угловым и числовым коэффициентом.

Подытожим сказанное и запишем основные факты (Рис. 4).

Число  задает единственную точку  окружности.

Но точка  окружности соответствует множеству чисел  То есть , то есть множеству целых чисел.

.

Тогда .

 – наименьший период функций.

Рис. 4.

 

6. Примеры

 

 

Примеры:

 

Рис. 5.

т. А: .

т. В: .

 

7. График y = sin t

 

 

Построим график функции  (Рис. 6)

 

Рис. 6.

.

Эта функция является нечетной: .

Если , то это значение будет достигаться в точке , и такое значение единственно.

 

8. График y = cos t

 

 

Рассмотрим график функции .

 

Заметим, что из формул приведения . То есть график синусоиды можно просто сдвинуть на  влево (Рис. 7).

Рис. 7.

.

Эта функция является четной: , поэтому график функции симметричен оси ординат.

Если , то это значение будет достигаться в точке , и такое значение единственно.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к ЕГЭ по математике (Источник).

2. Мнемоника.ру (Источник).

3. Википедия (Источник).

 

Домашнее задание

1. Определите знак выражения без использования таблиц:

2. Найдите значения , если .

3. Упростите выражение

 

4. Алгебра и начала анализа, Мордокович А.Г.: № 55-59.