Математика

Идея и методы решения задач, приводящих к понятию определенных интегралов

 

Первая задача. Задача о площади криволинейной трапеции.

 

Вторая задача. Задача о массе неоднородного стержня.

Третья задача. Задача о перемещении точки.

Мы рассмотрим идею и метод для решения этих задач.

 

Задача 1

 

 

Первая задача. (О площади  криволинейной трапеции)

 

Формулируется следующим образом:

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями:  на отрезке ,

 – ось . Найти площадь . Особенность заключается в том, что верхняя линия в криволинейной трапеции задается функцией. Идея метода – разбить отрезок  на определенные маленькие отрезки и считать площади каждого прямоугольника (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к первой задаче

Рассмотрим подробно первое действие. А именно разбиение отрезка  на  равных частей. Отрезок  разбивается на  равных частей точками  .

Величина .

Важно отметить особенности построения. Если , независимо от того, разобьем мы отрезок на 100, 200 или больше частей.

Второе действие. Зафиксируем  и приближенно найдем площадь в

Как мы это сделаем? Площадь искомой криволинейной трапеции заменим поступенчастой линией. Значение функции на отрезке [] мы заменим значением функции в левом конце . Таким образом, мы имеем прямоугольники. У них одинаковые основания. А высота – значения функции в левом конце.

Площадь первого прямоугольника .

Площадь второго прямоугольника .

И так далее.

Таким образом, мы разбили площадь на отдельные прямоугольники, сосчитали площадь каждого прямоугольника и суммируем эти площади, получаем:

 Итак, при фиксированном  примерное значение функции мы имеем. Но это примерное. Как получить точное?

Устремим . Тогда ступенчатая ломаная будет стремиться занять положение функции . И сумма  будет стремиться к искомой площади. Более точно: .

 

Задача 2

 

 

Вторая задача. (О вычислении массы  неоднородного стержня ).

 

Стержень неоднородный. Разместим его в координатной плоскости, как показано на рисунке.

Рис. 2. Иллюстрация ко второй задаче

Нам дано: Плотность , .

Найти: Массу стержня.

Рассмотрим частный случай, когда стержень однородный (). Тогда масса стержня легко считается. . Но у нас стержень неоднородный, величина  – непостоянная, надо найти массу такого стержня. Метод решения этой задачи аналогичен методу решения, который мы использовали в первой задаче. А именно: разбиение стержня на  равных частей с почти одинаковой плотностью  на отрезке . Но массу стержня здесь мы умеем считать . Таким образом, разбили стержень и умеем считать массу каждого маленького отрезка этого стержня. Далее, как и в первой задаче, проведем необходимые вычисления на каждом отрезке.

;

;

………………

.

Складываем, получаем:

Ясно, что мы получили примерное значение искомой величины. Точность увеличивается, если увеличивается , . . Более точно:

 

Задача 3

 

 

Третья задача (о перемещении точки)

 

Дано: скорость точки .

Найти: длину пути .

Суть задачи заключается в том, что по скорости надо найти длину пути.

Например, мы едем на машине, скорость в каждый момент времени мы знаем. Нужно вычислить путь.

Решение.

Рис. 3. Иллюстрация к третьей задаче

Разбиваем отрезок на  равных отрезков ;

Далее вычисляем путь на каждом из отрезков

;

;

………………

.

Если отрезок маленький, то значение скорости – почти постоянная величина.

Суммируем все пути:

. Более точно: .

 

Одна математическая модель для трех задач

 

 

Итак, мы рассмотрели три задачи, которые описываются с помощью одной и той же математической модели (рис. 4).

 

Рис. 4. Математическая модель

О площади  под кривой . Была дана функция Нужно было найти площадь криволинейной трапеции.

О массе стержня . Здесь  – плотность. Требовалось найти массу . Масса равнялась площади под этой кривой.

О перемещении точки. Была дана . Скорость известна в каждый момент времени. Нужно было найти перемещение. Перемещение равнялось площади : .

 

Общий метод решения

 

 

То есть решение трех задач – это нахождение данной площади. Напомним метод, с помощью которого мы решали и пытались решить каждую из трех задач.

 

Общий метод решения задач (рис. 5):

 

Рис. 5. Общий метод решения задач

Разбиение отрезка на  равных отрезков. Каждое Δx одинаковой длины.

Вычисление . То есть вычисление площади каждого из прямоугольников, площади под ступенчатой линией.

 

.

Если мы сумеем найти предел, то мы получим искомую площадь криволинейной трапеции: .

Обсудим все же идею суммирования:

Вот мы находим  и устремляем . Но что это означает?

Каждый прямоугольник фиксирован, если  – величина постоянная. Фиксирована высота и основание. Если , то сторона прямоугольника почти что равна нулю. И получается, что мы складываем почти отрезки. Во что же превращается прямоугольник, если  почти равна нулю? Он превращается почти в отрезок. Получается, мы складываем бесконечно много площадей бесконечно малых.

Можно задать вопрос: существует ли такой предел таких сумм, которые называются интегральными? На школьном уровне нам понятно, что предел существует из геометрических соображений. И это площадь под криволинейной трапецией. Особую значимость представляет сам принцип бесконечного разбиения и суммирования бесконечного числа бесконечно малых площадей. И в результате, рано или поздно, мы получим искомую площадь.

В частном случае мы уже сейчас можем находить площади криволинейных трапеций.

 

Частный случай

 

 

Дано: Криволинейная трапеция

 

Найти:.

Решение.

Трапеция  задана следующим образом (рис. 6):

Рис. 6. Трапеция ABCD

Полуокружность с центром в точке с радиусом ,

Чтобы найти площадь, нужно из площади прямоугольника вычесть площадь половины круга. .

Ответ:

Итак, мы рассмотрели три задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, которому и посвятим следующий урок.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Pm298.ru (Источник).
2. Pm298.ru (Источник).
3. Ib.mazurok.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций .
2. Найти площадь фигуры, которую задает полуокружность с центром в точке с радиусом ,