Математика

1. Напоминание о 3 задачах, рассмотренных на предыдущем уроке

 

Напомним три задачи, рассмотренные на прошлом уроке, которые сводятся к нахождению одной и той же площади криволинейной трапеции.

 

           

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции         

О площади  под кривой

Дано: .

Найти: .

О массе стержня

Дано:

Найти:

О перемещении точки по прямой

Дано:

Найти: .

 

2. Метод решения

 

 

Таким образом, если мы сумеем найти площадь под кривой, площадь криволинейной трапеции, мы решим эти три, а также многие другие задачи.

 

           

Рис. 2. Метод решения

Напомним метод решения. Он заключается в следующем:

Разбить отрезок  на  равных частей:

Сосчитать , то есть площадь подступенчатой ломаной.

Найти:

Прежде чем найти указанный предел, примем важное определение и переобозначение.

Рассмотрим интегральную сумму:

Площадь криволинейной трапеции записывается следующим образом:

 

3. Определение определенного интеграла

 

 

Определение: Определенный интеграл от функции  по отрезку  – это предел интегральных сумм  при .

 

Обсудим каждый элемент введенного определения:

a, b – пределы интегрирования.

 площадь криволинейной трапеции подынтегральной функции  в пределах от  до .

 

4. Решение задач через определенный интеграл, физический и геометрический смысл определенного интеграла

 

 

Выпишем решение трех задач через определенный интеграл.

 

 (геометрический смысл определенного интеграла).

Масса неоднородного стержня, .

Перемещение точки вдоль прямой, если известна скорость,  (геометрический и физический смысл определенного интеграла).

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, а с ней и площадь криволинейной трапеции, для начала рассмотрим теорему.

 

5. Теорема о вычислении определенного интеграла

 

 

Теорема: Если  – непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а  – ее первообразная на этом отрезке, то площадь  соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке, то есть:

 

Обсудим полученную формулу (рис. 3).

 

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

 

6. Доказательство теоремы

 

 

Доказательство: На отрезке зафиксируем  и найдем площадь под кривой на отрезке, то есть каждому  ставится в соответствие , введена новая функция.

 

Отсюда площадь криволинейной трапеции равняется приращению любой первообразной на отрезке .

           

 

7. Формула Ньютона-Лейбница

 

 

 

 – непрерывная на отрезке .

           

Рис. 4. Непрерывная функция

           

 

8. Свойства определенного интеграла

 

 

 

          

           

 

9. Решение примера на определенный интеграл, геометрическая интерпретация

 

 

Пример:

 

Вычислить:

Решение:

 .

Пояснение:

Геометрическая интерпретация:

Рис. 5. Площадь криволинейной трапеции

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathprofi.ru (Источник).
2. Energy.bmstu.ru (Источник).
3. Math24.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Докажите, что равенство верно: .
2. Вычислите интеграл:
3. Вычислите интеграл:
4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1021–1025