Математика

Длина вектора. Расстояние между точками

 

 Мы продолжаем расширять модель вектора для трехмерного пространства. На прошлом уроке мы рассмотрели определение вектора с использованием двух подходов (геометрического и алгебраического), ввели основные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число), рассмотрели некоторые свойства.

 

Также мы определили длину вектора как длину соответствующего отрезка с использованием теоремы Пифагора: длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат (утверждение остается верным, независимо от количества этих самых координат) (см. рис. 1):

Рис. 1. Вектор

Если вектор задан координатами начала и конца, то его собственные координаты находятся как разности координат этих точек (см. рис. 2):

Рис. 2. Вектор

Таким образом, формула длины вектора через его координаты эквивалентна утверждению, что расстояние между двумя точками находится как корень из суммы квадратов попарных разностей их координат:

Для трехмерного пространства ситуация повторяется абсолютно. Т. к. длина вектора – это длина диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями, равными координатам вектора, то его длина находится как корень квадратный из суммы квадратов его координат (см. рис. 3):

Рис. 3. Вектор

Если две точки заданы своими координатами, то мы можем их рассматривать как начало и конец вектора (см. рис. 4):

Тогда мы можем найти координаты вектора и его длину, т. е. расстояние между точками:

Рис. 4. Вектор

 

Скалярное произведение векторов

 

 

 Вспомним задачу о нахождении работы силы по перемещению объекта.

 

Задача 1. Мальчик тащит санки за веревку по горизонтальной поверхности. Чему равна работа силы натяжения по перемещению санок (см. рис. 5)?

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Если мы умножим силу на расстояние, то ответ будет верным только в том случае, если веревка натянута строго горизонтально, т. е. векторы силы и перемещения сонаправлены (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Если же веревка натянута под углом, то за перемещение отвечает не сама сила, а ее проекция на вектор перемещения (грубо говоря, помогает тянуть нам только та часть силы, которая действует вдоль перемещения, она и совершает работу) (см. рис. 7):

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 1

Длина проекции равна длине вектора силы, умноженной на косинус угла между силой и перемещением (см. рис. 8):

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 1

Тогда:

Ответ: .

 

Рассуждая таким образом, в планиметрии мы ввели понятие скалярного произведения двух векторов. Произведение двух векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию второго вектора на первый (см. рис. 9):

Рис. 9. Векторы  и

Если нам известны длины векторов и угол между ними, то формула для вычисления скалярного произведения имеет вид:

Часто для обозначения модуля вектора  используют просто букву , подчеркивая, что длина вектора и длина соответствующего отрезка – это одно и то же:

Результатом скалярного произведения является число. В примере с санками – это работа силы, величина скалярная. Очевидно, для скалярного произведения справедлив переместительный закон (если поменять местами сомножители, то результат не изменится):

Все вышесказанное нам известно из планиметрии. Если мы возьмем два вектора в пространстве и совместим их начала, то они будут лежать в одной плоскости (см. рис. 10).

Рис 10. Векторы  и  лежат в одной плоскости

Следовательно, для них будет справедливо то же самое определение скалярного произведения:

Физический смысл скалярного произведения остается тем же самым.

Разница появляется только в описании через координаты, т. к. в планиметрии у вектора две координаты, а в пространстве – три:

Произведение вектора  на себя называют скалярным квадратом. Подставим его в формулу скалярного произведения:

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

 

Скалярное произведение в координатах

 

 

Если вектор задан координатами, то мы можем найти его скалярный квадрат, так как уже умеем искать его длину:

 

Итак, скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат:

Рассмотрим теперь, как выражается скалярное произведение двух произвольных векторов через их координаты. Мы это уже делали в планиметрии, и результат будет аналогичным. Тем не менее повторим эти рассуждения.

Пусть два вектора,  и  не коллинеарны. Совместим их в общее начало. Построим вектор  (см. рис. 11).

Рис. 11. Вектор

По теореме косинусов имеем:

Если векторы коллинеарны, то данное равенство окажется верным и для него. Таким образом, дальнейшие рассуждения верны для любой пары векторов.

Выражение  – это скалярное произведение векторов. Тогда имеем:

Выразим скалярное произведение:

В правой части равенства у нас только скалярные квадраты векторов. Мы умеем находить их через координаты. Сделаем это:

Упростим выражение и получим:

Итак, мы получили формулу, знакомую нам из планиметрии: скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат.

Если в формулу скалярного произведения подставить один и тот же вектор , то получим знакомую уже формулу скалярного квадрата.

Итак, повторим:

1.      С геометрической точки зрения скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

2.      С алгебраической точки зрения скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

Теперь мы можем сформулировать основные свойства скалярного произведения:

, причем , при . Оно непосредственно следует из того:

Переместительный закон, который следует как из геометрической, так и из алгебраической интерпретации произведения:

Распределительный закон, который следует из координатной формы записи скалярного произведения:

Сочетательный закон, который очень легко доказать, используя как геометрическую, так и координатную формы скалярного произведения (сделайте это самостоятельно):

В самом деле: в формуле для вычисления скалярного произведения фигурирует косинус угла между векторами. Т. к. данный угол может принимать значения только от  до , то единственное значение, при котором косинус равен , это .

 

Угол между векторами

 

 

Если мы знаем длины векторов и угол между ними, то мы можем найти скалярное произведение по формуле:

 

Пример. Найти скалярное произведение двух векторов, длины которых равны  и , а угол равен .

Решение

:

Вспоминаем: если сила и перемещение сонаправлены, то работа силы (которая и равна скалярному произведению векторов силы и перемещения) максимальна и равна произведению их модулей.

:

Как только веревка санок поднимается, проекция силы на перемещение уменьшается, уменьшается и работа силы. В данном случае в два раза.

:

Если сила направлена вертикально вверх, то работа такой силы по перемещению санок равна нулю.

:

Веревка направлена вверх и назад, горизонтальная проекция силы препятствует движению, работа отрицательна.

:

Сила направлена прямо противоположно перемещению. Работа отрицательна и максимальна по модулю (мы мешали движению как могли сильно) (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к примеру

Ответ: .

 

Задача может быть и обратной. Известны длины векторов и скалярное произведение. Тогда мы можем найти угол между векторами. В самом деле:

Тогда:

Эта формула позволяет найти угол между векторами. Проблема в том, что если длина векторов часто может быть известна из постановки задачи, то скалярное произведение вряд ли. Другое дело, если нам известны координаты векторов. Тогда мы можем найти и их длины, и их скалярное произведение.

 

Задача 2. Найти угол между ребром куба и диагональю.

Решение

В силу симметрии куба не важно, между каким ребром и диагональю искать угол.

Найдем угол между ребром  и диагональю , а для этого рассмотрим соответствующие векторы. Свяжем с кубом систему координат так, чтобы точка  совместилась с началом координат (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 2

Координаты вектора , координаты вектора . Найдем косинус угла между векторами:

Найдем угол:

Ответ: .

Рассмотрим еще одну задачу на применение скалярного произведения, а более подробно сделаем это уже на практическом уроке.

 

Задача 3. Доказать, что четыре точки являются вершинами квадрата (см. рис. 14). Найти его площадь:

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Для начала докажем, что данный четырехугольник  – параллелограмм. Рассмотрим векторы противоположных сторон:

Векторы противоположных сторон равны, следовательно, они имеют равную длину и параллельны. Но это признак параллелограмма.

Осталось показать, что смежные стороны перпендикулярны. Найдем координаты вектора:

Перемножим векторы  и :

Скалярное произведение векторов равно нулю, следовательно, векторы перпендикулярны.

Осталось найти площадь. Перемножим длины смежных сторон:

Ответ: .

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Математика. Базовый уровень. 11 класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
3. Погорелов А.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 класс. Базовый и углубленный уровни. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru
2. Интернет-портал webmath.ru
3. Интернет-портал math24.ru

 

Домашнее задание

1. Найти длину вектора , если  и .
2. Даны векторы  и . Найти значение , при котором .
3. Доказать, что четырехугольник  с вершинами  есть параллелограмм.