Математика

Введение

 

На этом уроке мы обобщим те идеи, о которых говорили на последних уроках, и решим разные задачи на применение координатного метода.

 

 

Задача 1 (про призму)

 

 

В правильной треугольной призме  все ребра равны . Найдите тангенс угла между ребром  и плоскостью . (См. Рис. 1.)

 

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1. Введем систему координат. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Введенная система координат

Найдем координаты интересующих нас точек (, , , ). Прежде всего сделаем выносной рисунок основания призмы. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Выносной рисунок основания

Точка  имеет координаты . Точка . Точка .

Точка  имеет координаты , а тогда точка . (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Координаты точек

2. Найдем координаты вектора : .

3. Уравнение плоскости  будем искать в виде . Подставим сюда координаты точек, через которые проходит плоскость ():

Получаем:  или . Значит, .

4. Найдем длины векторов  и : , .

5. Найдем синус искомого угла: . Тогда в силу основного тригонометрического тождества .

Значит, искомый тангенс равен .

Ответ: .

 

Задача 2 (про куб)

 

 

В кубе  найдите угол между прямыми  и . (См. Рис. 5.)

 

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Главная проблема этой задачи в том, что ничего не дано: ни углов, ни сторон. Но это и не требуется. Нам дан куб, а, значит, все его ребра равны. В этом случае, как и в задачах на работу, мы можем брать не данную нам сторону за  либо за любую другую удобную нам величину.

1. Будем считать сторону куба  и введем систему координат. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Введенная система координат

2. Найдем координаты нужных нам вершин: , , , . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Координат нужных точек

3. Найдем координаты векторов: .

4. .

Не забудем, что нас просили найти угол, а не его косинус.

Ответ: .

 

Задача 3 (про пирамиду)

 

 

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания равна , а боковое ребро – . Найти расстояние от вершины  до медианы  треугольника . (См. Рис. 8.)

 

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

Решение

1. Введем систему координат. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Введенная система координат

2. Найдем координаты вершин , , ,  пирамиды, а также точки  – середины ребра .

. Центр основания  имеет координаты . Из прямоугольного треугольника , в котором катет  равен , а гипотенуза  равна , находим высоту пирамиды . Следовательно, точка  имеет координаты . (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Пошаговое нахождение координат точки

Координаты точки  равны полусумме соответствующих координат точек  и . , , тогда .

Координаты нужных точек: , , . (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Координаты нужных точек

3. Найдем координаты и длину векторов  и .

4. Найдем скалярное произведение векторов  и :

5. Найдем косинус угла между векторами  и :

6. Найдем синус угла между прямыми  и :

7. Найдем расстояние от точки  до прямой :

Ответ: .

Замечание. Эту задачу можно было решить и иначе: найти стороны треугольника , после чего по формуле Герона найти площадь, а через нее найти высоту. Однако, когда числа иррациональные, использовать формулу Герона сложнее, чем координаты.

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы разобрали три задачи с использованием координатного метода. Когда целесообразно применять координатный метод? Во-первых, когда координаты можно  легко ввести. Особенно легко это сделать, когда речь идет о правильных пирамидах и прямых призмах, а лучше – правильных призмах.
Далее, в координатах мы умеем считать практически любые углы или расстояния, так что имеет смысл вводить координаты только для таких задач.

 

Наконец, прежде чем вводить координаты, постарайтесь оценить, не решается ли задача быстрее из общих аналитических соображений, чтобы не делать лишней работы.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, 2013.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт ege-ok.ru (Источник)

2. Интернет-сайт ddomashka66.blogspot.ru (Источник)

3. Интернет-сайт ege-ok.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. В кубе  с ребром  точка  – центр грани . Найдите: а) угол между прямыми  и ; б) расстояние от точки  до середины отрезка .

2. В правильной треугольной призме  все ребра равны . Найдите угол между прямыми  и .

3. В правильной шестиугольной призме , все рёбра которой равны , найдите расстояние от точки  до прямой .