Математика

Введение

 

В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости, т.е. отображениями плоскости на себя, сохраняющими расстояния между точками. Введем теперь понятие движения пространства. Допустим, что каждой точке  пространства поставлена в соответствие некоторая точка  (Рис. 1).

 

Рис. 1. Каждой точке  пространства поставлена в соответствие некоторая точка

Причем любая точка  пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке  (Рис. 2).

Рис. 2. Каждой точке  пространства поставлена в соответствие некоторая точка

Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя. При данном отображении точка  переходит (отображается) в точку .

 

Движение

 

 

Под движением пространствапонимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки  и  переходят (отображаются) в какие-то точки  и  так, что  (Рис. 3).

 

Рис. 3. Иллюстрация к определению термина «движение»

То есть движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками (расстояние между исходными точками равно расстоянию между их образами).

 

Центральная симметрия

 

 

Примером движения может служить центральная симметрия (симметрия относительно точки). Возьмем точку  и произвольную точку  нашего пространства. Отразим точку  относительно точки  симметрично. Для этого проведем прямую через данные две точки и отложим за точку  точку  так, чтобы  (Рис. 4).

 

Рис. 4. Центральная симметрия

Если говорить векторным языком, то  (Рис. 5).

Рис. 5. Центральная симметрия на векторном языке

Если каждую точку пространства отразить таким образом, то это и называется центральной симметрией относительно точки .

Докажем, что центральная симметрия является движением.

Доказательство геометрическим методом: пусть даны точки  и , точка  – центр,  – образы исходных точек, . Доказать, что  (Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к условию доказательства

Рассмотрим  и . По первому признаку равенства треугольника : . Значит,  (Рис. 7).

Рис. 7. Равные треугольники

Доказательство методом координат: пусть  – центр симметрии,  и  – произвольные точки в декартовой системе координат. Доказать, что . Найдем координаты точек  и  (образов точек  и ) (Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к условию доказательства

Раз  симметрична  относительно начала координат, то все координаты точки  меняют знак на противоположный, то есть . Аналогично с точками  и . Получаем, что .

Тогда ;

.

В свою очередь:

Отсюда следует, что . Значит, центральная симметрия сохраняет расстояние, а значит, является движением.

У движений есть ряд свойств, например, наиболее важное для нас то, что любую фигуру в пространстве движение переводит в равную ей фигуру (Рис. 9). Но мы не будем доказывать этот весьма непростой факт, а просто будем его использовать.

Рис. 9. Свойство движения

 

Задачи на центральную симметрию

 

 

Задача . В какую точку перейдет точка  при центральной симметрии относительно точки ? Найти координаты получившейся точки .

 

Решение

Вариант . Если точка  переходит в некоторую точку , то  – середина . Значит, координаты точки  есть полусумма координат  и :

То есть точка  имеет координаты .

Вариант .

Получаем: . То есть .

Ответ: .

Задача . Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, перейдет в прямую, параллельную исходной.

Решение

Пусть . Нужно доказать, что  (Рис. 10).

 

Рис. 10. Иллюстрация к условию

Точка  перешла в точку , а точка  – в точку . Образовалась прямая , т.к. образом прямой при движении является прямая.

Распишем вектор :  (коллинеарные векторы). Значит, .

 

Осевая симметрия

 

 

Другим примером движения является осевая симметрия (симметрия относительно прямой).

 

Рассмотрим прямую  и произвольную точку . Опустим из  перпендикуляр на . Продлим этот перпендикуляр на его длину и получим точку . Значит, , тогда  – серединный перпендикуляр отрезка . Аналогично сделаем для точки  (Рис.11).

Рис. 11. Иллюстрация к объяснению

При этом точки  не обязаны лежать в одной плоскости (Рис. 12).

Рис. 12. Точки  и  лежат в разных плоскостях

Нужно доказать, что  (чтобы осевая симметрия являлась движением).

Для этого введем прямоугольную систему координат  так, чтобы ось  совпала с осью симметрии. Координаты точек: ; . Найдем координаты образов точек. Координаты по оси  не изменятся, а остальные координаты поменяют свой знак на противоположный, то есть ;  (Рис. 13).

Рис. 13. Визуальное пояснение нахождения координат образов точек

Найдем длины отрезков  и : ;

.

Из полученных формул видно, что , значит, при осевой симметрии расстояния между точками ,  и их отображениями ,  равны. Значит, осевая симметрия является движением, что и требовалось доказать.

Есть и более общее понятие – поворот вокруг прямой, когда мы каждую точку поворачиваем вокруг данной прямой на некоторый фиксированный угол (Рис. 14).

Рис. 14. Поворот вокруг прямой

Тогда осевая симметрия – это поворот на .

 

Задачи на осевую симметрию

 

 

Задача . Есть ли ось симметрии у прямоугольного параллелепипеда? (Рис. 15)

 

Рис. 15. Параллелепипед

Решение

Рассмотрим прямую, проходящую через центр любой грани параллелепипеда, перпендикулярно ей (Рис. 16).

Рис. 16. Перпендикулярная прямая, проходящая через центр грани

Тогда очевидно, что каждое перпендикулярное сечение будет симметрично относительно этой оси (повернув прямоугольник на , получим такой же прямоугольник), а значит, и вся фигура также будет симметрична.

Ответ: да, есть.

Задача . Рассмотрим правую перчатку. Проведем через средний палец ось параллельно пальцу и сделаем осевую симметрию перчатки относительно этой оси. В какую перчатку: правую или левую перейдет исходная перчатка?

Ответ: В правую перчатку, ведь это просто поворот относительно прямой на .

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы познакомились с понятием «движение в пространстве» и двумя видами движения – центральной симметрией (симметрией относительно точки) и осевой симметрией (симметрией относительно прямой); выяснили, как можно находить координаты образов с помощью векторов; доказали, что эти симметрии являются движением, и выяснили, что осевая симметрия – это поворот относительно оси на .

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002.

3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет портал «Geometry2006.narod.ru» (Источник)

3. Интернет портал «Belmathematics.by» (Источник)

 

Домашнее задание

1. В координатной системе дана точка . Определите координаты точек, в которые переходит точка  при центральной симметрии относительно начала координат.

2. Точки  и  симметричны относительно плоскости . Найдите длину отрезка .

3. Постройте фигуру, симметричную кубу относительно прямой .