Математика

Введение

 

Наверняка за то время, что вы изучаете геометрию, вы решили множество задач, в условии которых встречались медианы или биссектрисы. Обычно наличие таких слов предполагало лишь формальное использование определения медианы или биссектрисы, то есть то, что какая-то сторона либо какой-то угол разделены пополам.

 

Чуть реже мы использовали специфические свойства медиан и биссектрис. Но что делать, если нужно найти длину самой медианы или биссектрисы? Сейчас мы об этом и поговорим.

[00:0:54/Теорема о сторонах и диагоналях параллелограмма]

Докажем сначала полезную вспомогательную теорему о параллелограмме.

Теорема

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: .

Доказательство

Рассмотрим треугольники  и  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству теоремы

По теореме косинусов для треугольника  имеем .

По теореме косинусов для треугольника  имеем .

Теперь заметим, что  и  – секущая, то есть углы  и  – внутренние односторонние, а значит, их сумма равна . Следовательно, их косинусы равны по модулю и противоположны по знаку: . Учитывая это, сложим два равенства, получаем: .

Теорема доказана.

 

Длина медианы

 

 

Эта теорема и сама по себе довольно полезна, потому что с ее помощью можно быстро найти недостающую сторону или диагональ параллелограмма. Но для нас сейчас особенно важно, что именно с помощью этой теоремы мы получим формулу для вычисления длины медианы треугольника. Для этого воспользуемся одним полезным стандартным приёмом при решении геометрических задач – удвоением медианы.

 

Теорема

Длину медианы треугольника можно вычислить по формуле:  (Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме о длине медианы треугольника

Доказательство

Продлим медиану  на ее длину за точку  – получим точку . Заметим, что  – параллелограмм по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам (Рис. 3).

Рис. 3. Удвоение медианы

Значит, к нему можно применить доказанную нами теорему о сторонах и диагоналях параллелограмма:

Теорема доказана.

Итак, теперь мы умеем находить медиану треугольника, зная длины трёх его сторон. Воспользуемся этим для решения различных задач.

 

Примеры

 

 

Пример 1

 

Стороны треугольника равны  и . Найти медиану, проведенную к большей стороне.

Решение

Воспользуемся формулой для длины медианы: .

Подставляем в неё известные из условия длины сторон:

Ответ: .

Пример 2

В треугольнике : , , медиана . Найти .

Решение

Воспользуемся формулой для длины медианы и подставим в неё данные из условия:

Ответ: .

Формула длины медианы применяется и для доказательства теорем.

---

 

Доказательство теоремы

Теорема

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный.

Доказательство

Пусть  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

Выразим длины обеих медиан через длины сторон треугольника и приравняем полученные формулы:

.

Получаем, что треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.

---

 

 

Длина биссектрисы

 

 

Длину биссектрисы ищут гораздо реже. Однако формула для вычисления её длины может быть полезна для решения некоторых задач.

 

Теорема

Длину биссектрисы треугольника можно вычислить по формуле:  (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Доказательство

Воспользуемся методом площадей. Запишем формулы для вычисления площади некоторых треугольников:

С другой стороны, площадь треугольника равна сумме площадей двух непересекающихся треугольников, из которых он состоит: . Тогда

Теорема доказана.

 

Пример

 

 

Рассмотрим задачу, которую можно решить, используя полученную формулу.

 

Задача

Пусть в треугольнике , , . Требуется найти биссектрису  (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Решение

Воспользуемся полученной формулой для длины биссектрисы:

 

Нахождение биссектрисы по трём сторонам

 

 

Можно ли найти длину биссектрисы, если известны только длины трёх сторон треугольника? Конечно, можно по теореме косинусов найти косинус соответствующего угла треугольника, а затем по формуле косинуса двойного угла найти косинус половины угла и применить доказанную нами формулу длины биссектрисы. Но есть и другой алгоритм.

 

---

 

Пример

Пусть в треугольнике :  и . Найти биссектрису  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

1. Первым делом найдем . Заметим, что по свойству биссектрисы , значит, .

2. Далее по теореме косинусов для треугольника  находим косинус угла :

3. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику :

Если этот метод вам понравился больше, то можно использовать для нахождения длины биссектрисы и его. Впрочем, в формулу подставлять гораздо проще.

---

 

Кстати, если даны три стороны, то есть еще одна формула, позволяющая найти длину биссектрисы:  где  и  – отрезки, на которые сторона  делится биссектрисой (Рис. 6).

Рис. 6. Нахождение биссектрисы по трем сторонам

---

 

Доказательство

Пусть  – точка пересечения продолжения биссектрисы  и окружности, описанной около  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству

Тогда треугольники  и  подобны (одна пара углов равна по определению биссектрисы, а углы  и  – вписанные и опираются на одну дугу).

Значит, , то есть .

Осталось заметить, что по теореме о пересекающихся хордах: , подставив это в полученное равенство, получим требуемое:

---

 

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы познакомились с формулами для вычисления длины медианы и биссектрисы в треугольнике. Помимо этого, доказали важную теорему о сторонах и диагоналях параллелограмма и решили несколько задач на применение выведенных формул.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009.
2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов. М.: Просвещение, 2002.
3. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «syl.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «www-formula.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «zdesformula.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Вычислите длину биссектрисы треугольника , проведённую из вершины , если .
2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны  и . Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна . Медиана, проведённая к боковой стороне, равна . Найдите длину основания треугольника.