Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике 

 

Эксперимент 

Урок 7. Введение в тригонометрию. 

Практика

Конспект урока

Давайте сразу договоримся, что не все задания, которые мы с вами рассмотрим в теме тригонометрия, будут типовыми для ЕГЭ, некоторые задачи мы необходимо научиться решать, т.к. они могут оказаться частью решения более сложного задания.

Главным образом, рассматриваемые сегодня задачи, будут ориентированы на задания типа В7.

 

Формулы перевода углов из градусов в радианы и наоборот

 

 

 

 

 Задача №1. Выразить в радианах углы: а) ; б) .

 

Воспользуемся формулой

а) ;

б) .

 

Задача №2. Выразить в градусах углы: а) ; б) .

Воспользуемся формулой

а) ;

б) .

 

Вычисление значений тригонометрических функций

 

 

Одной из важнейших задач в тригонометрии является умение вычислять значения тригонометрических функций. Как правила задача сформулирована так, что для этого можно воспользоваться или таблицей значений тригонометрических функций или свести задачу к этому. Первый тип заданий мы из-за очевидности рассматривать не будем, а разберемся со вторым. 

 

Задача №3. Вычислить .

Как видим, угол не табличный, поэтому используя тот факт, что при изменении значения аргумента на период значение функции не меняется, преобразуем выражение к табличной форме:

В конце получили табличное значение.

К решению можно подойти и более рационально, если просто изначальный угол разделить на период, т.е. в нашем случае на 360, и выписать остаток от деления. Именно на этот остаток и можно заменить исходный угол в тригонометрической функции.

Ответ. 0,5.

 

Задача №4. Вычислить .

Указанный угол опять не является табличным, уменьшим его на какое-то количество периодов тангенса, т.е. на несколько . Для этого в аргументе выделим целую часть:

 

Ответ. 1.

 

Выражение одних тригонометрических функций через другие

 

 

Теперь рассмотрим типичные задания на получения значений одних тригонометрических функций через другие.

 

 

Задача №5. Вычислить значение косинуса угла , если известно, что  и .

Стандартная формула, которая устанавливает связь между синусом и косинусом одного аргумента – это так называемая «тригонометрическая единица». Из нее мы и выразим искомый косинус:

 

Получить в последнем выражении  очень важно, т.к. значение арифметического корня только неотрицательно, а синус и косинус могут принимать отрицательные значения. Стандартная ошибка – это пропустить этот нюанс и, не задумываясь, найти положительное значение.

На этом этапе решения пора обратить внимание на непонятное вначале ограничение на угол . Из него мы можем сделать вывод, каким по знаку будет значение косинуса. Это проще всего вспомнить с помощью тригонометрической окружности:

Поскольку наш угол относится ко второй четверти, то знак косинуса будет отрицательным.

Ответ: .

 

Задача №6. Вычислить значение синуса угла , если известно, что  и .

Взаимосвязь тангенса с синусом можно попробовать установить с помощью второго основного тригонометрического тождества: , однако в нем присутствует косинус, значение которого нам не известно. Но мы умеем выражать его через синус, как в предыдущем примере. Чтобы избежать извлечения корня, сразу возведем обе части тождества в квадрат:

Выразим из этого тождества синус:

Аналогично предыдущему примеру на этом этапе определяем знак синуса по тригонометрической окружности. Поскольку угол лежит в первой четверти, то можно даже не рисуя окружность мысленно представить, что значения всех тригонометрических функций для этого диапазона положительны.

Ответ. 0,5.

 

Тождественные преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических тождеств

 

 

Сейчас мы рассмотрим тождественные преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических тождеств. Эти умения могут, например, пригодиться при упрощении сложных уравнений.

 

Задача №7. Упростить выражение .

Сначала раскроем скобки по формулам квадрата суммы и разности

Воспользовались первым тригонометрическим тождеством.

Ответ. 2.

Задача №8. Упростить выражение .

Воспользуемся четвертым основным тригонометрическим тождеством:

Ответ. 1.

Конечно же не всегда тригонометрические выражения удается упростить до вида чисел, мы просто привели самые яркие примеры.

Задача №9. Вычислить значение выражения , если .

Для приведения к тангенсам разделим числитель и знаменатель дроби на , это можно сделать, т.к. косинус не равен нулю, если существует значение тангенса.

В этом решении стоит обратить внимание на способ получения тангенсов в выражениях, содержащих синусы и косинусы.

Ответ. 3.

 

Формулы приведения

 

 

Теперь разберем несколько примеров на формулы приведения.

 

Задача №10. Упростить выражение .

В теоретической части урока мы обсуждали, какие выражения можно упростить с помощью формул приведения, и указанная функция к ним относится.

Для решения нам необходимо выполнить два шага: определить какая функция останется в итоге, и какой у нее будет знак.

Поскольку данное выражение содержит аргумент, измененный на половинное число частей , то функция меняется на кофункцию, т.е. на .

Знак определяем с помощью тригонометрической окружности:

 

Удобно сначала отложить в отрицательном направлении (по часовой стрелке) известный угол , а затем от него в положительном направлении (против часовой стрелки) произвольный острый угол . Как видим, сторона угла попала во вторую четверть, где синус положителен. Значит, положителен будет и упрощенный нами косинус:

Важно обратить внимание на стандартную ошибку, когда путают знак какой из функций определять, той, что была до преобразований, или той, которая получилась после. Т.е. в нашем примере определять знак синуса или косинуса. Конечно же, определяем знак той функции, которая преобразовывается, т.е. была изначально (в нашем примере это синус).

Ответ. .

Рассмотрим теперь более сложный пример.

Задача №11. Упростить выражение .

Это выражение содержит тригонометрические функции, которые упрощаются с помощью формул приведения. Однако аргументы изменены не на привычные небольшие значения углов, а на большие значения. Упростим каждую из тригофункций отдельно, уменьшая значения изменений аргументов с использованием свойств периодичности.

Вспомним, что период синуса и косинуса равен , а тангенса и котангенса . Функция при добавлении и вычитании этих значений не изменится.

 

Последнее равенство объясняется и без использования формул приведения, а по свойству нечетности функции синус.

 

Аргумент уменьшен на 12 периодов, после этого отмечаем, что функция меняется на кофункцию, т.к. произвольный угол  изменен на половину . Знак определяем по тригонометрической окружности. Угол попадает в первую четверть, а в ней тангенс положителен.

   

Вычитаем два периода, меняем на кофункцию, угол попадает во вторую четверть, в которой косинус отрицательный.

 

Вычли 17 периодов и воспользовались свойством нечетности котангенса.

Подставим все упрощенные выражения в исходное:

Ответ. .

 

Заключение

 

 

На практическом занятии мы рассмотрели основные типовые задачи на перевод углов из градусов в радианы и наоборот, на выражение одних тригофункций через другие, на преобразования тригофункций с использованием основных триготождеств и на формулы приведения.