Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике

 

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Теория

Конспект урока

 

Понятие обратной тригонометрической функции

 

 

Вспомним, когда мы встречаемся с таким понятием как обратная функция. Например, рассмотрим функцию возведения в квадрат. Пусть у нас есть квадратная комната со сторонами по 2 метра и мы хотим вычислить ее площадь. Для этого по формуле пощади квадрата возводим двойку в квадрат и в результате получаем 4 м². Теперь представим себе обратную задачу: мы знаем площадь квадратной комнаты и хотим найти длины ее сторон. Если мы знаем, что площадь равна все тем же 4 м², то выполним обратное действие к возведению в квадрат – извлечение арифметического квадратного корня, который нам даст значение 2 м.

 

Таким образом, для функции возведения числа в квадрат обратной функцией является извлечение арифметического квадратного корня.

Конкретно в указанном примере у нас не возникло проблем с вычислением стороны комнаты, т.к. мы понимаем, что это положительное число. Однако если оторваться от этого случая и рассмотреть задачу более общим образом: «Вычислить число, квадрат которого равен четырем», мы столкнемся с проблемой – таких чисел два. Это 2 и -2, т.к.  тоже равна четырем. Получается, что обратная задача в общем случае решается неоднозначно, и действие определения числа, которое в квадрате дало известное нам число? имеет два результата. Это удобно показать на графике:

А это значит, что такой закон соответствия чисел мы не можем назвать функцией, поскольку для функции одному значению аргумента соответствует строго одно значение функции.

Для того чтобы ввести именно обратную функцию к возведению в квадрат и было предложено понятие арифметического квадратного корня, который дает только неотрицательные значения. Т.е. для функции  обратной функцией считается .

Аналогично существуют и функции, обратные к тригонометрическим, их называют обратными тригонометрическими функциями. К каждой из рассмотренных нами функций существует своя обратная, их называют: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Эти функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, с использованием таблицы значений основных тригонометрических функций можно вычислить синус какого угла равен . Находим это значение в строке синусов и определяем, какому углу оно соответствует. Первое, что хочется ответить, что это угол  или , но если у вас в распоряжении таблица значений до , вы тут же заметите еще одного претендента на ответ, - это угол  или . А если мы вспомним о периоде синуса, то поймем, что углов, при которых синус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для косинусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью.

Т.е. мы сталкиваемся с той же проблемой, которая была для вычисления значения аргумента по значению функции для действия возведения в квадрат. И в данном случае для обратных тригонометрических функций было введено ограничение области значений, которые они дают при вычислении. Это свойство таких обратных функций называют сужением области значений, и оно необходимо для того, чтобы их можно было называть функциями.

Для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно. Например, арксинус возвращает значения углов в диапазоне от  до .

Умение работать с обратными тригонометрическими функциями нам пригодится при решении тригонометрических уравнений.

Сейчас мы укажем основные свойства каждой из обратных тригонометрических функций. Кто захочет познакомиться с ними более подробно, обратитесь к главе «Решение тригонометрических уравнений» в программе 10 класса.

 

Функция арксинус и ее график

 

 

Рассмотрим свойства функции арксинус и построим ее график.

 

Определение.Арксинусом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем  как ограничения на значения синуса, а  как выбранный диапазон углов.

 

Основные свойства арксинуса:

1)  при ,

2)  при .

 

Основные свойства функции арксинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная  Эту формулу желательно отдельно запомнить, т.к. она полезна для преобразований. Также отметим, что из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

4) Функция монотонно возрастает.

 

Построим график функции :

Обратим внимание, что никакой из участков графика функции не повторяется, а это означает, что арксинус не является периодической функцией, в отличие от синуса. То же самое будет относиться и ко всем остальным аркфункциям.

 

Функция арккосинус и ее график

 

 

Рассмотрим свойства функции арккосинус и построим ее график.

 

Определение.Арккосинусом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем  как ограничения на значения синуса, а  как выбранный диапазон углов.

 

Основные свойства арккосинуса:

1)  при ,

2)  при .

 

Основные свойства функции арккосинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида . Эту формулу тоже желательно запомнить, она пригодится нам позже;

4) Функция монотонно убывает.

 

Построим график функции :

 

 

 

Функция арктангенс и ее график

 

 

Рассмотрим свойства функции арктангенс и построим ее график.

 

Определение.Арктангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем  т.к. ограничений на значения тангенса нет, а  как выбранный диапазон углов.

 

Основные свойства арктангенса:

 

1)  при ,

2)  при .

 

Основные свойства функции арктангенс:

 

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная . Эта формула тоже полезна, как и аналогичные ей. Как в случае с арксинусом, из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

4) Функция монотонно возрастает.

 

Построим график функции :

 

Функция арккотангенс и ее график

 

 

Рассмотрим свойства функции арккотангенс и построим ее график.

 

Определение.Арккотангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем  т.к. ограничений на значения котангенса нет, а  как выбранный диапазон углов.

 

Основные свойства арккотангенса:

1)  при ,

2)  при .

 

Основные свойства функции арккотангенс:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида. Запомните и эту формулу, она нам тоже пригодится;

4) Функция монотонно убывает.

 

Построим график функции :

 

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

 

 

Между рассмотренными обратными тригонометрическими функциями существует два полезных соотношения, которые позволяют выражать одну функцию через другую:

 

На этом уроке мы с вами рассмотрели такое понятие как обратная тригонометрическая функция, узнали их виды, свойства и построили графики.

В практической части урока мы займемся преобразованием выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

 

Полезные ссылки:

1)      Алгебра 10 класс: "Арккосинус" 

2)      Алгебра 10 класс: "Арксинус" 

3)      Алгебра 10 класс: "Арктангенс и решение уравнения tg x=a" 

4)      Алгебра 10 класс: "Арккотангенс и решение уравнения ctg x=a"