Математика

Тема 8: Подготовка к экзаменам

Урок 22: Урок 12. Функции и их свойства. Практика

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 12. Функции и их свойства

Практика

Конспект урока

Область определения функции

Сначала рассмотрим задачи на определение основных свойств функций и их характеристик, затем займемся чтением графиков.

Начнем с нахождения области определения функции.

Задача №1. Указать область определения функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

а) Т.к. функция представляет собой корень четной степени из выражения, содержащего неизвестную, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

б) Т.к. указан десятичный логарифм, то его основание равно 10, и удовлетворяет условию и , то данная функция имеет смысл. Эта проверка, конечно же, проводится формально, обозначение десятичного логарифма уже предполагает, что его основание имеет смысл.

Теперь перейдем к основной части нахождения области определения функции и вспомним, что выражение под логарифмом должно быть положительным, т.е.

в) В указанной функции присутствует и корень четной степени из выражения, содержащего неизвестную, и деление на неизвестное выражение. Таким образом, мы имеем два ограничения на область определения функции:

г) Указанная квадратичная функция не имеет ограничений на область определения, т.к. функция будет иметь смысл при любых значениях аргумента, т.е. .

д) Важно не спешить при виде корня сразу же искать ограничения на область определения, т.к. функция задана в виде корня нечетной степени, а никаких ограничений на подкоренное выражение в таком случае нет, т.е. .

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Задача №2. Указать по графику область определения функции:

а)

б)

а) Обратим внимание, что точки изображенного графика имеют любые значения по оси абсцисс, кроме , в этой точке проведена вертикальная асимптота к графику.

Т.е. .

б) Этот график уже поинтереснее, координаты его точек имеют значения от нуля, причем ноль выколотый, до плюс бесконечности, но без , в этой точке, как и в предыдущем случае, проведена вертикальная асимптота к графику.

Т.е. .

Ответ. а) ; б) .

Область значений функции

Теперь перейдем к заданиям на определение области значений функции.

Задача №3. Указать область значений функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

а) Получим ограничения на область значений данной функции путем преобразований ограничений на простейшую функцию :

С другой стороны важно не забыть, что корень четной степени имеет неотрицательные значения, т.е.:

Таким образом, если учесть эти оба условия, то мы получим, что

б) Мы уже обсуждали, что для определения области значений для квадратичной функции необходимо вычислить координату вершины ее параболы по оси ординат. Давайте вспомним из школьной программы как вычислить для начала иксовую координату вершины параболы:

Теперь найдем игрековую координату вершины, для этого подставим в функцию:

Поскольку парабола имеет положительный старший коэффициент, то ее ветки направлены вверх, и является ее минимальным значением, следовательно:

На следующем уроке мы с вами еще подробно разберемся с определением вершины и построением параболы.

в) Давайте сначала упростим указанное выражение, для этого раскроем скобки:

Теперь воспользуемся известными нам ограничениями на синус (синус любого аргумента лежит в диапазоне от до ):

г) Начнем поиск области значений данной функции с известного ограничения на модуль:

Теперь проанализируем, что будет, если возводить 2 в неположительную степень. Для этого запишем функцию в более удобной форме, чтобы перейти к положительной степени:

Для того чтобы указать область значений указанной функции, необходимо определить значения, которыми она ограничена. Максимальное значение дроби будет при минимальном знаменателе, в нашем случае это достигается при , тогда функция примет значение:

Минимальное значение дроби будет при максимальном знаменателе, но наш знаменатель ничем не ограничен и при аргументах, стремящихся к бесконечности, он тоже будет стремиться к бесконечности, а дробь соответственно стремится к нулю.

Таким образом, функция ограничена значениями от 0 до 1, причем, ноль не достигается, а к нему функция только стремится, а единица достигается, следовательно:

д) В этом случае указана линейная функция, а ее значения ничем не ограничены, следовательно

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Задача №4. Указать по графику область значений функции:

а)

б)

а) Обратим внимание, что на указанном графике есть горизонтальная асимптота, к которой функция прижимается, но не пересекает ее, также она не поднимается выше значения равного 2, при этом, функция убывает до минус бесконечности, следовательно

б) В этой функции также имеется горизонтальная асимптота, к которой прижимается функция, при этом она стремится к значению равному нулю, но не достигает его, ниже нуля у функции нет значений. А максимальное значение, которое достигается функцией равно единице, т.е.

Ответ. а) ; б) .

Задача №5. По указанной таблице, которая задает функцию соответствия между числами месяца и потреблением электроэнергии в эти дни, укажите максимальное значение из области определения и минимальное значение из области значений функции.

Число	3	8	12	21	29
	5,1	4,9	3,8	4	4,2

Самое главное понять, что множеством аргументов функции, т.е. ее областью определения является верхняя строка таблицы, а областью значений – нижняя строка, т.к. именно от числа месяца зависит, какое было потребление электроэнергии, а не наоборот.

Теперь указать максимальное значение из области определения, т.е. из чисел в верхней строке, не составит труда. Это число 29.

Аналогично минимальным в области значений будет число 3,8 из нижней строки.

Ответ. 29; 3,8.

Асимптоты функции, точки пересечения с осями

Приведем пример на определение асимптот графика функции.

Задача №6. Укажите уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот графика функции .

Начнем с вертикальной асимптоты. Как мы указывали в лекции к уроку она имеет уравнение

аргументы, при которых в функции происходит деление на ноль

В указанной функции такому условию удовлетворяет, очевидно, это и будет уравнение вертикальной асимптоты.

Для определения горизонтальной асимптоты вспомним, что ее уравнение

значения, к которым функция приближается на

Для того, чтобы найти к чему стремится наша функция при иксах, стремящихся к бесконечности, постараемся получить в знаменателе константу, для чего выделим в дроби целую часть:

Когда в числителе дроби находится число, а в знаменателе выражение, которое стремится к бесконечности, что происходит при увеличении аргумента, то дробь стремится к нулю. Таким образом, получаем, что все выражение стремится к двойке. Т.е. уравнением горизонтальной асимптоты будет .

Заметьте, мы не могли сделать вывод о том, к чему стремится значение дроби, пока в числителе находилось неизвестное выражение. Дело в том, что при увеличении аргумента, в таком виде возрастают и числитель и знаменатель, и сложно сказать к чему будет стремиться их отношение.

Ответ. ; .

А сейчас рассмотрим задачу, в которой найдем точки пересечения графика функции с осями.

Задача №7. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат подставим в функцию и получим . Т.е. координаты этой точки будут .

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю () и решим уравнение:

Это стандартное квадратное уравнение, которое можно решить или с помощью дискриминанта или по теореме Виета, проделайте это самостоятельно, мы же укажем результат:

Т.е. координаты этих точек будут .

Обратите внимание, что для определения координат точек пересечения с осями график функции строить не обязательно.

Ответ.; .

Чётность и нечётность, периодичность

А сейчас перейдем к заданиям на определение очень важного свойства функции четности/нечетности.

Задача №8. Определить тип четности функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Во всех случаях для определения типа четности функции необходимо подставить аргумент с противоположным знаком, т.е. . Именно для того, чтобы это нагляднее продемонстрировать, мы и обозначили функции в виде .

а) - функция четная.

б) - функция нечетная.

в) - функция нечетная.

г) - функция общего вида.

д) -функция нечетная.

Ответ. а) функция четная; б) функция нечетная; в) функция нечетная; г) функция общего вида; д) функция нечетная.

Задача №9. Определить по графику тип четности функции:

а)

б)

Для решения задачи вспомним определения четной и нечетной функции, в которых говорится об определенных свойствах симметрии их графиков.

а) Изначально может показаться, что график симметричен относительно оси ординат, и практически так и есть, но обратите внимание на выколотую точку, у которой нет симметричной. Такая мелочь уже нарушает возможное предположение о четности этой функции, симметричными должны быть все точки функции. А т.к. она еще не симметрична относительно начала координат, то не является и нечетной, т.е. указанная функция является функцией общего вида.

б) Указанный график является графиком синуса и можно вспомнить, что эта функция нечетная. Второй вариант решения – это обратить внимание на симметрию всех точек графика относительно начала координат.

Ответ. а) функция общего вида; б) нечетная функция.

Задачи на вычисление периодов тригофункций со сложным аргументом мы уже рассматривали, но повторим их и в этой теме, т.к. период – это важная характеристика функции.

Задача №10. Указать период функций: а) ; б) .

а) По формуле для функций вида получаем, что .

б) По формуле для функций вида вычислим, что . Такая запись должна удивить, т.к. период по определению является положительным числом, поэтому возьмем модуль от полученного значения и получим .