Математика

 

 

Подготовка к ЕГЭ по математике 

 

Эксперимент 

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций

Теория

 

 

Конспект урока

 

График линейной функции и метод его построения

 

 

Начнем с построения графиков основных функций.

 

1) Линейная функция. Ее графиком является прямая.

Общий вид линейной функции:

где под  и  понимают следующие параметры:

 угловой коэффициент;

 свободный член или смещение по оси ординат.

Рассмотрим основные формы таких графиков в зависимости от значений параметров и поймем их названия.

 показывает координату пересечения прямой с осью ординат;

 прямая проходит через начало координат;

 угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс острый;

 угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс тупой;

 прямая параллельна оси абсцисс.

Как видим, параметр «» определяет наклон прямой к оси абсцисс.

Метод построения графика линейной функции самый стандартный, и называется «построение по точкам». Поскольку любая прямая может быть однозначно восстановлена по двум точкам, то нам будет достаточно определить координаты двух точек, удовлетворяющих функции, и затем провести через них прямую линию, которая и будет необходимым графиком.

Обычно для этого используется небольшая табличка, в которую записывают произвольно выбранные координаты точек по оси абсцисс, а затем для них вычисляют координаты точек по оси ординат.

Пример. Проделаем эти действия для функции .

Решение.

Для вычисления необходимых игреков подставляем значения иксов в формулу, которая задает функцию. При этом удобно выбирать минимальные по модулю целые значения иксов для простоты расчетов:

После этого точки наносятся на координатную плоскость, и через них проводится прямая линия, которая и будет графиком.

Обратите внимание, что форма графика соответствует знакам коэффициентов функции.

 

График квадратичной функции и метод его построения

 

 

2) Теперь рассмотрим квадратичную функцию и ее график, который принято называть параболой.

 

Общий вид квадратичной функции:

Где под параметрами  понимают:

 старший коэффициент;

 второй коэффициент;

 свободный член.

От знаков этих параметров зависит расположение параболы:

 ветки параболы направлены вверх;

 ветки параболы направлены вниз;

Знаки коэффициента  явно и наглядно ничего не определяют;

 показывает координату пересечения параболы с осью ординат.

Уже можно было обратить внимание, что в графиках функций, которые представлены в виде многочленов, свободный коэффициент показывает точку пересечения с осью ординат. А в общем случае такой точкой является значение функции при подстановке аргумента, равного нулю.

Для ознакомления с изображением параболы построение следует начать с простейшего частного случая рассматриваемой функции .

Для построения параболы по общему виду функции есть несколько стандартных приемов, укажем один наиболее простой и удобный из них.

Метод построения «по вершине».

В этом способе сначала находят координаты вершины, а затем в зависимости от знака старшего коэффициента строят эскиз графика.

Координаты вершины находят по следующим формулам:

Как видим, для вычисления значения игрековой координаты вершины выполняется подстановка в функцию найденного значения иксовой координаты вершины.

После этого вершина обозначается в системе координат и с учетом известного нам направления веток параболы в зависимости от знака старшего коэффициента функции изображается эскиз графика.

Пример. Построить график функции .

Решение. Воспользуемся указанными формулами для .

, .

Учтем, что , т.е. ветки параболы направлены вверх. Для точности нанесем точку пересечения с осью : .

Чтобы увеличить точность построения графика, можно найти и точки его пересечения с осью . Решим для этого уравнение , как мы уже знаем, приравняв функцию к нулю. Но мы не будем делать этого в примере, если вам интересно, то можете проделать это действие самостоятельно и решить квадратное уравнение.

 

График дробно-рациональной функции и метод его построения

 

 

3) Перейдем к простейшему виду дробно-рациональной функции, графиком которой является гипербола.

 

Общий вид такой функции , т.е. в числителе и знаменателе дроби находятся линейные двучлены.

У указанных параметров нет общепринятых названий.

Начнем знакомство с графиком, который называют гиперболой, с изображения простейшего частного случая дробно-рациональной функции, когда , т.е. . Он имеет вид:

Как видим, у графика есть вспомогательные элементы, которые называются «асимптоты». Их две: горизонтальная и вертикальная.

Вспомним, что вертикальная асимптота строится в координате по оси абсцисс, при которой знаменатель дроби превращается в ноль.

Горизонтальная асимптота проводится в том значении координаты по оси ординат, к которому стремится функция при аргументе, стремящемся к бесконечности. Для функций указанного типа горизонтальную асимптоту можно найти и проще, значением ее игрековой координаты будет отношение коэффициента при иксе в числителе и в знаменателе. Разобраться почему так вы можете изучив тему «Предел функции».

Пример. Построим график дробно-рациональной функции общего положения .

Способ построения мы назовем «по асимптотам» и он будет состоять из трех шагов:

1. Находим уравнение вертикальной асимптоты: ;

2. Находим уравнение горизонтальной асимптоты: . Можно так же воспользоваться способом приведения числителя к константе, который мы показали в предыдущем уроке.

3. Расположение веток гиперболы неоднозначно: или справа вверху и слева внизу, например, в простейшем случае

или слева вверху и справа внизу, например,

Поэтому необходимо точно определить, как они будут изображаться. Для этого просто подставим любое целое значение икса в функцию из области определения и найдем одну точку, которая принадлежит графику.

Подставим, например,  и построим ее в системе координат с найденными асимптотами.

Ветки гиперболы должны прижиматься к асимптотам и по расположению построенной точки мы определяем положение одной из веток гиперболы, а соответственно и другой, т.к. ветки всегда лежат наискось относительно друг друга, если к графику не применялись специальные преобразования.

 

Графики основных функций, для которых не выделяют отдельных методов построения

 

 

Теперь менее подробно перечислим графики основных функций, для которых не выделяют отдельных методов построения. Также вспомним графики тех функций, которые мы недавно изучали.

 

4) График неизвестной в четной степени, где  выглядит, как график простейшей параболы :

А график неизвестной в нечетной степени, где , например, , выглядит, как так называемая кубическая парабола:

5) График корня четной степени, где , например, , имеет следующий вид:

6) График корня нечетной степени, где , например, , имеет следующий вид:

Точное построение таких графиков выполняется с подстановкой контрольных точек.

7) График модуля неизвестной  выглядит следующим образом:

Еще его иногда называют «птичкой».

8) Графики показательной функции  делятся на два типа в зависимости от значения основания степени.

1.

2.

Вспомним, что случаи с отрицательным основанием степени и равным единице не рассматриваются.

9) Графики логарифмической функции также делятся на два типа в зависимости от значения основания логарифма.

1.

2.

Для данной функции  и , как и для показательной, не рассматриваются.

10) Вспомним графики четырех основных тригонометрических функций.

1.

2.

3.

4.

Вспомним об особом свойстве тригофункций – их периодичности.

Мы указали графики не всех функций, а только основные. Например, мы не повторили графики аркфункций из-за их редкости. Если хотите повторить их, то обратитесь к соответствующему уроку

 

 

 

Преобразования графиков функций

 

 

Теперь перейдем ко второй части урока, в которой познакомимся с основными видами преобразований графиков функций. Такие преобразования необходимы для умения строить сложные функции, которые преобразуются из простейших.

 

Первый тип преобразований мы рассмотрим на примере трех принципиально разных типов функций, чтобы стало понятно, что способы преобразований универсальны. Каждое из остальных преобразований мы продемонстрируем на примере какой-нибудь одной наиболее наглядной функции.

1) Изменение знака аргумента .

Правило. График функции симметрично отображается относительно оси .

2) Изменение знака функции.

Правило. График функции отображается симметрично относительно оси .

3) Добавление/вычитание числа из аргумента.

Правило. График функции сдвигается вдоль оси абсцисс при добавлении – влево, а при вычитании – вправо на число, которое равно «».

4) Добавление/вычитание числа из функции.

Правило. График функции сдвигается вдоль оси ординат при добавлении – вверх, а при вычитании – вниз на число, которое равно «».

5) Умножение/деление аргумента на число или .

Правило. График функции при умножении сжимается, а при делении растягивается вдоль оси абсцисс в «» раз в направлении начала координат.

или

6) Умножение/деление функциина число или .

Правило. График функции при умножении растягивается, а при делении сжимается вдоль оси ординат в «» раз в направлении начала координат.

или

Мы рассмотрели основные виды преобразований графиков функций, которые на практическом занятии помогут нам построить множество графиков различных функций.

 

На этом уроке мы рассмотрели методы построения графиков основных типов простейших функций и указали виды их преобразований.

На практическом занятии мы разберем соответствующие примеры

 

Полезные ссылки:

 

1.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynoe-uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik

2.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynoe-uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik-bolee-slozhnye-sluchai

3.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynaya-funktsiya-i-ee-grafik

4.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/pryamaya-proportsionalnost-i-eyo-grafik

5.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/funkciya-yx2/funktsiya-y-x-sup-2-sup-i-eyo-grafik

6.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/funkciya-yx2/funktsiya-y-x-sup-2-sup-chto-oznachaet-v-matematike-zapis-y-f-x

7.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/funkciya-yx2/funkciya-yx2-graficheskoe-reshenie-uravnenij?konspekt

8.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/povtorenie-kursa-algebry-7go-klassa/lineynaya-funktsiya

9.      http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/funktsiya-y-x-eyo-svoystva-i-grafik

10.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/funktsiya-y-x-eyo-svoystva-i-grafik-reshenie-zadach

11.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/funktsiya-y-k-x-sup-2-sup-ee-svoystva-i-grafik

12.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/funktsiya-y-k-x-sup-2-sup-ee-svoystva-i-grafik-prodolzhenie-1

13.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/funktsiya-y-k-x-sup-2-sup-ee-svoystva-i-grafik-prodolzhenie-2

14.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/funktsiya-y-k-h-ee-svoystva-i-grafik

15.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/funktsiya-y-k-h-ee-svoystva-i-grafik-prodolzhenie

16.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/funktsiya-y-k-h-ee-svoystva-i-grafik-prodolzhenie-1

17.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/povtorenie-kursa-algebry-8go-klassa/kvadratichnaya-funktsiya

18.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/povtorenie-kursa-algebry-8go-klassa/funktsiya-y-8730-x

19.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/svoystva-lineynoy-funktsii-y-kx-m-i-y-kx-sup-2-sup-k-8800-0

20.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/funktsii-y-k-x-y-8730-x-y-x

21.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/svoystva-kvadratichnoy-funktsii-y-ax-sup-2-sup-bx-c

22.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/stepennaya-funktsiya-s-chetnym-pokazatelem-stepeni-y-x-sup-2n-sup-ee-svoystva-i-grafik

23.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/stepennaya-funktsiya-s-nechetnym-pokazatelem-stepeni-y-x-sup-2n-1-sup-ee-svoystva-i-grafik

24.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/stepennaya-funktsiya-y-x-sup-2n-sup-ee-svoystva-i-grafik

25.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/stepennaya-funktsiya-y-x-sup-2n-1-sup-ee-svoystva-i-grafik

26.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/postroenie-grafika-funktsii-y-mf-x-po-grafiku-funktsii-y-f-x-pri-m-0

27.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/postroenie-grafika-funktsii-y-mf-x-po-grafiku-funktsii-y-f-x-pri-m-0-2

28.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/postroenie-grafika-funktsii-y-mf-x-po-grafiku-funktsii-y-f-x-pri-m-0-2

29.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/elementy-teorii-trigonometricheskih-funkcij/funktsiya-y-sinx-eyo-svoystva-i-grafik

30.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/elementy-teorii-trigonometricheskih-funkcij/funkciya-ycosx-eyo-svojstva-i-grafik

31.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/elementy-teorii-trigonometricheskih-funkcij/funktsiya-y-cos-t-eyo-svoystva-i-grafik

32.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/elementy-teorii-trigonometricheskih-funktsiy-funktsiya-y-sinx

33.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/elementy-teorii-trigonometricheskih-funkcij-funkciya-ycosx

34.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funkciya-ysinx-ee-osnovnye-svojstva-i-grafik

35.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funkciya-ysinx-eyo-svojstva-grafik-i-tipovye-zadachi

36.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funkciya-ycos-t-eyo-osnovnye-svojstva-i-grafik

37.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funkciya-ycos-t-eyo-svojstva-grafik-i-tipovye-zadachi

38.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/kak-postroit-grafik-funkcii-ymfx-esli-izvesten-grafik-funkcii-yfx

39.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/kak-postroit-grafik-funkcii-yfkx-esli-izvesten-grafik-funkcii-yfx

40.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/kak-postroit-grafik-funkcii-yfkx-esli-izvesten-grafik-funkcii-yfx-primery-postroeniya

41.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/periodichnost-funkcij-ysin-t-ycos-t

42.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funkciya-ytgx-ee-svojstva-i-grafik

43.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funktsiya-y-stgx-ee-svoystva-i-grafik

44.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/bpovtorenie-kursa-algebry-10-klassab/trigonometricheskie-funktsii-y-sin-t-y-cos-t

45.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/bpovtorenie-kursa-algebry-10-klassab/trigonometricheskie-funkcii-ytg-t-yctg-t

46.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/funktsii-y-8730-x-sup-n-sup-ih-svoystva-i-grafiki

47.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/funktsii-y-8730-x-sup-n-sup-ih-svoystva-i-grafiki-zadachi

48.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepennye-funktsii-ih-svoystva-i-grafiki-nachalnye-svedeniya

49.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepennye-funktsii-ih-svoystva-i-grafiki-stepennye-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem

50.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-i-grafik-nachalnye-svedeniya

51.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-prosteyshie-pokazatelnye-uravneniya

52.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-i-prosteyshie-pokazatelnye-neravenstva

53.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik

54.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik-prodolzhenie

55.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik-reshenie-zadach

56.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/chislo-e-funktsiya-y-e-x-ee-svoystva-grafik-differentsirovanie

57.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/naturalnye-logarifmy-funktsiya-y-ln-x-ee-svoystva-grafik-differentsirovanie

58.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya

59.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/eskiz-grafika-funktsii-na-primere-drobno-kvadratichnoy-funktsii

60.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/drobno-lineynaya-funktsiya

61.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsii-3-y-i-4-y-stepeni

62.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsii-s-radikalami

63.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/lineynaya-funktsiya-2

64.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/kvadratichnaya-funktsiya-2

65.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/pokazatelnye-funktsii-uravneniya-neravenstva

66.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/pryamaya-i-obratnaya-funktsii

67.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya-y-sin-t-i-chislo-arcsin-a

68.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya-y-cos-t-chislo-arccos-a

69.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya-y-tg-t-chislo-arctg-a

70.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya-y-ctg-t-chislo-arcctg-a

71.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/issledovanie-funktsiy-2

72.  http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/chtenie-grafika-funktsiy-reshenie-zadach-v2