Математика

Тема 8: Подготовка к экзаменам

Урок 24: Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций. Практика

Теория

Заметили ошибку?

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций

Практика

Конспект урока

Построение графиков основных функций

Сначала разберем примеры на построение графиков основных функций.

Задача №1. Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а)


0	-1
1	2

Как видим, и угол наклона к оси острый, смещение по оси .

б)


0	2
1	1

и можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в)


0	0
1	2

угол наклона к оси острый, график проходит через начало координат.

г)

константная функция, прямая проходит через точку и параллельно оси .

Задача №2. Построить графики функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Воспользуемся методом построения квадратичных функций «по вершине».

а)

ветки параболы направлены вверх, .

Если возникает вопрос, как точно строится парабола, т.е. с какой именно скоростью растут и убывают ее ветки, то можно запомнить следующий факт: если старший коэффициент или , как это часто бывает, то при смещении от иксовой координаты вершины на единицу влево или вправо значение функции сначала изменяется на 1, потом на 3, затем на 5 и т.д., т.е. на нечетные числа.

Например, в нашем графике:

Для функций, у которых старший коэффициент , значения изменений функции умножаются на это «». Например, построение функции выглядит так:

Но, как правило такая точность построения не важна, а нужен только эскиз графика, поэтому в дальнейшем мы не будем это учитывать.

б)

ветки параболы направлены вверх, .

в)

ветки параболы направлены вниз, .

Кстати, график проходит через ноль, что легко проверить подстановкой в функцию точки или обратив внимание на то, что .

Задача №3. Построить графики функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Воспользуемся нашим методом построения дробно-рациональных функций «по асимптотам».

а)

Вертикальная асимптота определяется решением уравнения, которое показывает, что знаменатель дроби равен нулю: .

Горизонтальную асимптоту определим по тому быстрому способу, который мы указали в лекции. Она определяется отношением коэффициентов при иксах в числителе и знаменателе: .

Для определения расположения веток гиперболы подставим в функцию любую точку из области определения, т.е. кроме, например, : , т.е. координаты этой точки через нее и проведем одну ветку гиперболы, вторая будет располагаться наискось.

Теперь строим гиперболу, прижимая ее к асимптотам:

Остальные пункты строим аналогично.

б)

Вертикальная асимптота: .

Горизонтальная асимптота: , т.е. асимптотами являются оси координат.

Проверочная точка: .

в)

Вертикальная асимптота: .

Горизонтальная асимптота: .

Проверочная точка: .

Задача №4. Построить графики функций: а) , б) , в) .

Решение. По сути дела, указаны функции, которые не имеют особых методов построения их графиков. Поэтому если необходимо изобразить их эскиз, то просто вспоминаем теорию, а если необходимо построить графики более точно, то следует подставить несколько контрольных точек, так и поступим.

а)

Подставим полные квадраты, чтобы вычислить из них целые значения корня.


0	0
1	1
4	2

б)

Подставим несколько значений и учтем общий вид графика.


0	1
1	3
2	9

Т.к. основание степени , то функция растет.

в)

Подставим такие значения аргумента, при которых значения логарифма будут целыми. При построении учтем общий вид графика.


	1
	2
1	0
2	-1

Т.к. основание логарифма , то функция убывает.

Исследование функции по изображенному графику

Теперь давайте попробуем научиться решать обратную задачу – по изображенному графику исследовать функцию.

Задача №5. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

г)

Решение. Для определения знаков коэффициентов и вспомним, как от них зависят формы графиков.

а) Острый угол наклона прямой к оси (функция возрастает) – это . Точка пересечения с осью - это .

Далее аналогичные рассуждения.

б)

в)

г) Константная функция, т.к. график параллелен оси , т.е. , а .

Задача №6. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

Решение. Вспомним, как параметры и определяют положение параболы.

а) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины .

б) Ветви вверх, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, .

в) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, .

Преобразование графиков функций

И теперь переходим к рассмотрению примеров на преобразование графиков функций.

Задача №7. Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение. Когда сложная функция получена из простейшей путем нескольких преобразований, то преобразования графиков выполняются в порядке арифметических действий с аргументом, например, умножение идет до сложения и т.п.

а)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вправо на 1:

в)

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках , затем сложение .

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

Конечно же, можно построить эту функцию как квадратичную после раскрывания скобок. Проверьте это самостоятельно.

г)

Преобразование в одно действие типа .

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида , и .

Для выполнения преобразований в порядке действий обратим внимание, что сначала будет выполняться умножение, затем сложение, а затем смена знака. Чтобы умножение применялось ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.