Математика

Тема 10: Показательная и логарифмическая функции. Профильный уровень

Урок 1: Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Понятие показательной функции

Ранее мы изучали различные функции. Например, линейная функция описывает прямолинейное движение. Квадратичная функция описывает равноускоренное движение.

Теперь рассмотрим новую функцию, показательную – в ней основание степени постоянное число, а показатель изменяется: ; ; .

Пример

Масса радиоактивного вещества в момент времени равна:

где – начальная масса образца; – период полураспада.

Здесь мы видим, что основание степени постоянная величина, а показатель – переменная.

Скорость роста показательной функции иллюстрируется примерами с шахматами.

Мы изучаем показательную функцию , , , ее график называется экспонентой (рис. 1):

Рис. 1. Экспонента

Построить конкретную экспоненту, например по точкам достаточно сложно, так как даже при значение функции уже очень велико и элементарно не хватает листа бумаги, а при значения слишком малы и график почти сливается с осью , очевидно, что с ростом аргумента данная функция резко возрастает, а с уменьшением – стремительно приближается к нулю, но не достигает его.

Так, при стремлении аргумента к бесконечности растет не только функция, но и скорость ее роста.

Задача о зернах на шахматной доске

По легенде мудрый изобретатель шахмат попросил у правителя награду: положить на первую клетку 1 зерно пшеницы, на вторую 2 зерна, то есть в два раза больше, на третью 4 и так далее, соответственно, на последнюю . Сколько зерна попросил мудрец?

Решение

Данное выражение вычислить затруднительно. Даже число , что уже является очень большим числом.

То есть если собрать зерна с первых 19 клеток, получится примерно один миллион зерен, что примерно помещается в литровом пакете от молока.

Но уже начиная со второй половины доски рост числа зерен столь стремителен, что их общее количество трудно представить.

Формально количество требуемых зерен есть геометрическая прогрессия:

; ;

Найдем ее сумму:

Такое число зерен просто огромно. Подсчитано, что это количество зерен превышает в 1800 раз мировой урожай пшеницы за 2008–2009 аграрный год, а он составил 686 млн тонн пшеницы.

Ответ: .

Можно представить, сколь малым является число .

Определение. Показательная функция с целым показателем

Определение

Показательной называется функция вида , ; .

Основание показательной функции существенно влияет на ее график.

Рассмотрим семейство экспонент , ; .

Все экспоненты проходят через точку , так как для любого :

Рис. 2. Фиксированная точка всех экспонент

Рассмотрим случай, когда . В этом случае функция возрастает, но скорость роста зависит от основания степени. Рассмотрим это на примере функций ; ; . Составим таблицы и постоим графики (рис. 3).

Рис. 3. Графики функций ,

Так, при : и при : .

Пусть . Тогда .

Доказательство

Обе части неравенства неотрицательны, поделим на

Получено верное выражение, значит, и исходное выражение верно.

Пусть . Тогда .

Доказательство

Обе части неравенства неотрицательны, поделим на

Получено верное выражение, значит, и исходное выражение верно.

Рассмотрим случай, когда . В этом случае функция убывает, но скорость зависит от основания степени. Рассмотрим это на примере функций ; ; .

Отметим: ; ; .

Используем тот факт, что кривые и симметричны относительно оси :

Рис. 4. Графики функций ,

Так, чем меньше основание степени, тем быстрее рост функции, при стремлении к минус бесконечности при отрицательных :

Если же и стремится к плюс бесконечности, имеем:

Теперь рассмотрим область определения показательной функции. Для начала ограничимся множествами целых, а затем рациональных чисел.

Пример

Графиком будем множество точек вида .

Рис. 5. График функции ,

1. Данная функция монотонно возрастает, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

Докажем этот факт. Обе части неравенства неотрицательны, разделим его на :

Получено истинное выражение, значит, и предположение было верным.

2. При функция резко возрастает; при стремлении аргумента к минус бесконечности функция стремительно приближается к нулю, не достигая его.

3. Рассмотрим множество значений функции: это все числа вида , .

4. Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу нулем.

5. Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Пример

Графиком будем множество точек вида . График изображен на рисунке 6 синим цветом. Его можно получить по точкам, а можно отобразить график функции относительно оси ординат.

Рис. 6. График функции ,

1. При возрастании аргумента от минус до плюс бесконечности функция убывает от бесконечности до нуля, но нуля не достигает.

2. Рассмотрим множество значений функции: это все числа вида , .

3. Отметим, что функция не ограничена сверху, но ограничена снизу нулем.

4. Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Показательная функция с рациональным показателем

Пример

Найти значение функции при .

Решение

Переведем периодичную дробь в обыкновенную.

Вычтем из второго выражения первое:

Требуется вычислить: .

Так, мы можем вычислить значение показательной функции для любого рационального числа. Графиком функции , будет множество точек вида , но эти точки так близко расположены, что нарисовать такой график невозможно.

Свойства данной функции аналогичны свойствам той же функции, когда аргумент принимал целочисленные значения.

Показательная функция с действительным показателем

Теперь рассмотрим функцию , .

Вспомним, что – это такое иррациональное число, квадрат которого равен трем. Его нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Число можно приближать меньшими рациональными числами следующим образом: ; ; ;

Для каждого из этих приближений мы можем вычислить значение функции .

Доказана сходимость первой последовательности к некоторому пределу, этот предел обозначили за . Вторая последовательность тоже сходится к некоторому пределу, обозначенному .