Математика

Определение натурального логарифма

 

Определение.

 

Натуральным мы будем называть логарифм с основанием .

Напоминание: Что такое ? Давайте вспомним. Итак, рассмотрим функцию . Число иррациональное. В чем его особенность? К графику  касательная в точке  наклонена под градусом  к оси . Рис. 1.

Рис. 1. Касательная к графику функции

Так вот, если касательная наклонена под градусом  к оси , то основание этой функции есть число .

Производная в точке : .

И то есть скорость роста функции в точке  равна значению функции в этой же точке.

Мы вспомнили, что такое число  – основание натурального логарифма.

Теперь дадим строгое определение и обозначение.

Определение.

Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию .

Несколько примеров, чтобы привыкнуть к новому обозначению.

Примеры:

Итак, мы дали строгое определение натуральному логарифму и привели несколько примеров.

Теперь изучим логарифмическую функцию с натуральным основанием, то есть

 

Функция y=ln x

 

 

Функция . Во-первых, допускаются только положительные значения . Напомним, ≈2,72 – иррациональное число. Для начала, чтобы построить график, используем таблицу.

 

	1
	0	1	2	-1	-2

 

Если ;

Если ;

то вычисляем:

;

Если , то

.

Таким образом, построим график функции по точкам и понимаем характер изменения функции: рис. 2.

Рис. 2. График функции

Прочтем график функции и перечислим ее свойства:

 

Свойства функции y=ln x

 

 

Вот график:

 

Рис. 3. График функции

Функция определена, когда ;

Функция возрастает на всей области определения (0,∞);

Функция не ограничена ни снизу, ни сверху;

Не существует ,

Функция непрерывна;

;

Функция выпукла. Если рассмотреть отрезок (A;B), то функция находится над отрезком;

Функция дифференцируема. То есть в любой точке есть касательная.

 

Дифференцирование функции y=ln x

 

 

Логарифмическую функцию с натуральным основанием можно дифференцировать. Давайте научимся это делать.

 

Для этого докажем формулу .

Доказательство.

Мы знаем, что ;

Значит, производная от сложной функции ^′;

Также знаем основное логарифмическое тождество:

;

Продифференцируем тождество :

1=

1=

Выразим :

.

Формула доказана. Теперь дифференцировать логарифмические функции с натуральным основанием мы можем.

В итоге имеем две важные формулы:

;

Значит, мы умеем решать любые типовые задачи на производную логарифмической функции с основанием .

 

Некоторые примеры на нахождение производной

 

 

Найти производную.

 

=;

 

Типовая задача на нахождение производной в точке

 

 

Найти производную функции в точке:

 

Дано:

Найти:

Решение:

1. Напомним формулу производной от дроби:

Найдем отдельно производные от числителя и знаменателя:

;

;

 

2.

3. Можно упрощать, а можно просто подставить 0.

Ответ:

 

Задача на касательную

 

 

Найти касательную:

 

Дано:

Найти: уравнение касательной к данной прямой в данной точке

Решение.

У нас есть стандартная методика.

Есть уравнение касательной:

Все действия данной методики направлены на то, чтобы найти нужные нам элементы касательной:

Находим точку касания. Так как , то

Точка касания найдена.

Находим производную в любой точке

Находим производную в конкретной точке :

Находим уравнение касательной:

 – таково уравнение касательной.

Теперь дадим иллюстрацию на чертеже:

Как построить график функции ?

Надо стандартную кривую  сдвинуть влево на единицу по оси  (рис. 4).

 

Рис. 4. Иллюстрация примера

Получим кривую. Ее асимптота . Получили и саму кривую и касательную. То есть, иллюстрация дана.

Итак, мы познакомились с натуральными логарифмами, изучили функцию y=ln x. На следующем уроке мы рассмотрим дифференцирование показательной и логарифмической функций.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ru.wikipedia.org (Источник).
2. Mathprofi.ru (Источник).
3. Ru.wikipedia.org (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти производную функции:

а) ;

б) .

2.

a) Найти уравнение касательной к прямой  в точке ;

б) Найти уравнение касательной к прямой  в точке .

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1648, 1656.