Математика

1. Повторение определений и свойств

 

Напомним основные определения.

 

Определение:

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Например: , т. к. ; , т. к.

Итак, в рассмотренном случае под корнем стоит строго неотрицательное число, но существует также корень из отрицательного числа – это корень нечетной степени, он существует для любых чисел.

                                      

Например: , т.к. ,

Напомним свойства корней n-й степени, которыми мы будем пользоваться при всех преобразованиях:

 при

, при  (теорема 1);

, при  (теорема 2);

, при  (теорема 3);

, при  (теорема 4);

 при  (теорема 5).

Все дальнейшие преобразования и вычисления базируются на определении и свойствах корня n-й степени.

Пример 1 – вычислить:

Разложим подкоренное выражение на более удобные множители и после этого извлечем корень:

Пример 2 – упростить выражение:

Пример 3 – упростить выражение:

 

2. Типовые ошибки и важные соотношения

 

 

Чтобы избежать распространенных типовых ошибок, обратим внимание на некоторые моменты.

 

Верно ли, что:

 при

Неверно, т. к., например, при  получаем неверное числовое равенство .

 при

Неверно, т. к., например, при  получаем неверное числовое равенство .

В данном случае верна формула:

:

Приведенная формула справедлива для любого четного показателя степени.

Для нечетного показателя степени имеем следующую формулу:

Приведем еще одну важную формулу:

 

3. Вынесение множителя из под знака корня, примеры

 

 

Перейдем к рассмотрению типовых задач. Первый тип задач – вынесение множителя из-под знака корня.

 

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

Пример 7:

Комментарий: поскольку а стоит под квадратным корнем в нечетной степени, то данная переменная неотрицательна, имеем право снять с нее модуль.

Пример 8:

Пример 9:

 

4. Внесение множителя под знак корня, примеры

 

 

Следующий тип задач – внесение множителя под знак корня.

 

Пример 10:

Пример 11:

Пример 12:

Пример 13:

Пример 14:

 

5. Решение элементарных уравнений

 

 

Перейдем к решению уравнений.

 

Пример 15:

Мы знаем, что:

Согласно условию

Имеем:

, отсюда

Ответ:

Пример 16:

Мы знаем, что:

Согласно условию

Имеем:

, отсюда

Ответ:

Пример 17:

Очевидно, что в данном случае t может принимать любые значения.

Ответ:

Пример 18:

Ответ:

Итак, мы рассмотрели элементарные преобразования выражений, содержащих радикалы. На следующем уроке мы продолжим изучение данной темы.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Nado5.ru (Источник).
3. School.xvatit.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын), 1990, № 413, 414;

2. Упростите выражение:

а) ; б) ; в) ; г)

3. Упростите выражение:

а) ; б) ; в) ; г) ;