Математика

В системе несколько уравнений, несколько неизвестных. Обычно она решается, когда кол-во уравнений и неизвестных совпадает. Часто мы имеем дело с двумя уравнениями и двумя неизвестными. Рассмотрим методы их решения.

Метод подстановки.

Этот метод заключается в выражении одной неизвестной через другую в одном уравнении и подстановкой этого выражения в другое уравнение. Тем самым мы получаем уравнение с одной неизвестной, которое обычно легко решается. Надо не забыть найти еще вторую неизвестную!

$\left\{\begin{array}{c}4x+7y=5\left(1\right)\\ 2x+3y=-6\left(2\right)\end{array}\right.$

Выразим x через y из 2:

$2x+3y=-6\iff x=-3-\frac{3}{2}\mathit{y}\left(3\right)$

Подставим (3) в (1):

$4\cdot \left(-3-\frac{3}{2}y\right)+7y=5$

$-12-6y+7y=5$

$y=17$

$x=-3-\frac{3}{2}\cdot 17=-3-25,5=-28,5$

Ответ: ($-28,5;17)$

Метод сложения.

Данный метод удобно использовать в задачах, в которых мы можем умножить уравнения на удобные нам числа и сложить или вычесть их так, чтобы одна из переменных сократилась.

$\left\{\begin{array}{c}3x+4\sin y=-11\left(1\right)\\ -2x+5\sin y=\frac{7}{2}\left(2\right)\end{array}\right.$

Пусть $\sin y=t:$

$\left\{\begin{array}{c}3x+4t=-11|\cdot 2(3)\\ -2x+5t=\frac{7}{2}|\cdot 3(4)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}6x+8t=-22\\ -6x+15t=\frac{21}{2}\end{array}\right.$

Сложим (3) и (4):

$8t+15t=-22+\frac{21}{2}\iff 23t=\frac{-44+21}{2}$

$23t=-\frac{23}{2}$

$t=-\frac{1}{2}$

Подставим в (2):

$-2x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$

$-2x=6$

$x=-3$

Обратная замена:

$\sin y=-\frac{1}{2}$

$[\begin{array}{l}y=-\frac{\pi }{6}+2\pi n, n\in Z\\ y=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k, k\in Z\end{array}$

Ответ:  { ( $-3$; $-\frac{\pi }{6}+2\mathit{\pi n},n\in \mathrm{Z }) ;$( $-3$; $-\frac{5\pi }{6}+2\mathit{\pi k},k\in \mathrm{Z }) \}.$