Математика

Площадь боковой поверхности цилиндра

 

 

Рис. 1. Цилиндрическая бочка

Мы с вами знаем, что такое цилиндр, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько материала пойдет на изготовление цилиндрической бочки (См. Рис. 1).

Рис. 2. Пизанская башня

Или сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить кирпичную башню (вроде Пизанской, только ровную)? (См. Рис. 2.)

Рис. 3. Бочка, обмотанная тканью	Рис. 4. Разрезанная ткань

Конечно, измерить площадь боковой поверхности цилиндра просто так не получится. Но представим себе все ту же бочку, обмотанную тканью. (См. Рис. 3.) Как найти площадь куска ткани? Ну конечно, разрезав ткань и разложив ее на столе! Получится прямоугольник, его площадь легко найдем. (См. Рис. 4.)

Рис. 5

Сделаем так же с цилиндром. «Разрежем» его боковую поверхность вдоль любой образующей, например . (См. Рис. 5.)

Рис. 6. Развертка боковой поверхности

Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость. Получаем прямоугольник , где и  – одна и та же точка на цилиндре (аналогично и ). (См. Рис. 6.)

Такой прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Рис. 7. Развертка боковой поверхности

Что мы знаем про этот прямоугольник? Его сторона  равна высоте цилиндра (ведь образующая равна высоте). Другая сторона  равна длине окружности основания, то есть . (См. Рис. 7.)

Значит, площадь прямоугольника равна . Итак, , где  – радиус основания цилиндра,  – высота.

 

Площадь полной поверхности цилиндра

 

 

Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить площади оснований. Но каждое основание – это круг радиуса , чья площадь по формуле равна .

 

Окончательно, имеем:

,  где  – радиус основания цилиндра,  – высота.

 

Примеры задач на применение выведенных формул

 

 

 

Рис. 8. Иллюстрация к примеру 1

Пример 1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найти площадь осевого сечения цилиндра. (См. Рис. 8.)

Решение. Как мы знаем, , а . Значит .

Рис. 9. Иллюстрация к примеру 2

Ответ: .

Пример 2. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна . Найти радиус основания и высоту. (См. Рис. 9.)

Решение. По формуле имеем:  

По условию, , имеем:

.

Так как радиус положителен, то

Ответ:.

 

Заключение

 

 

Итак, сегодня мы познакомились с формулой боковой поверхности цилиндра и формулой площади полной поверхности цилиндра, также решили пару задач на эти формулы.

 

 

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2002.
3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

 

Домашнее задание

1. Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту и площадь поверхности цилиндра.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания – 9. Найдите высоту цилиндра.
3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Ru.onlinemschool.com (Источник).
2. Интернет-портал All-biography.ru (Источник).
3. Интернет-портал Oldskola1.narod.ru (Источник).