Математика

Определение сферы и шара

 

Сфера – это тело вращения, которое напоминает окружность, только не на плоскости, а в пространстве. Вспомним, что же такое окружность. Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром (рис. 1).

 

Рис. 1. Окружность	Рис. 2. Круг

Тогда, сфера – это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром (рис. 3).

Радиус сферы – расстояние, на которое они (точки) удалены от центра.

Рис. 3. Сфера	Рис. 4. Шар

Продолжая аналогию, шар – это круг (рис. 2) в пространстве: множество всех точек, заключенных внутри сферы (плюс сама сфера).

Шар – это множество всех точек пространства, расстояние от которых до данной точки, называемой центром, не превосходит радиуса (рис. 4).

 

Примеры шара и сферы

 

 

Бильярдный шар – шар (рис. 5);

 

Шарик для игры в настольный теннис – сфера (рис. 6);

Рис. 5. Бильярдный шар		Рис. 6. Шарик для игры в настольный теннис

Планета Земля не является шаром с математической точки зрения, так как она приплюснута на полюсах. Земля имеет форму эллипсоида вращения, или геоида.

Замечание: сфера является частью шара.

 

Форма Земли

 

 

Рассмотрим полуокружность  с центром  и диаметром  (рис. 7). Вращая ее вокруг диаметра , получим сферу (рис. 8). Т. е. сфера – тело вращения.

 

Рис. 7. Полуокружность	Рис. 8. Сфера как тело вращения

Аналогично, если вращать не полуокружность, а полукруг, получим шар (рис. 9, 10).

Рис. 9. Полукруг	Рис. 10. Шар как тело вращения

 

Шар и сфера как тела вращения

 

 

Хорда сферы – это отрезок, соединяющий две точки сферы (рис. 11).

 

Диаметр сферы – это хорда, которая проходит через центр сферы (рис. 12).

Рис. 11. ,  – хорды	Рис. 12.  – диаметр,  – центр

 

Разветвление: уравнение сферы в координатах в пространстве

 

 

 

Рис. 13. Сфера с центром в точке

Выведем уравнение сферы радиуса  с центром в точке  (рис. 13).

Пусть произвольная точка  лежит на сфере. Тогда, по определению сферы, . С другой стороны, расстояние между точками в координатах равно:

.

Приравнивая это к  и возводя в квадрат, приходим к формуле, напоминающей уравнение окружности:

.

Это и есть уравнение сферы.

Соответственно, шар задается не уравнением, а неравенством:

.

Пример

Пусть дано уравнение . Требуется доказать, что данное уравнение задает сферу, и найти координаты ее центра и радиус.

Вспомним общее уравнение сферы:

.

Наша задача – свести исходное уравнение к уравнению сферы. Для этого выделим полные квадраты:

;

Таким образом, это действительно сфера, ее центр – точка с координатами , а ее радиус равен .

 

Площадь сферы

 

 

Формула для нахождения площади сферы выводится аналогично формуле для нахождения площади окружности. Берутся вписанные и описанные -угольники. Устремляя  к бесконечности, говорим, что периметр многоугольника стремится к длине окружности. И выводим формулу площади.

 

Аналогично и для сферы. Опишем сферу многогранником и будем увеличивать количество граней до бесконечности. Тогда площадь боковой поверхности многогранника будет стремиться к площади поверхности сферы.

 – площадь сферы

 

Пример №1

 

 

Пример №1

 

Дана сфера, площадь которой равна 64π. Найти радиус сферы.

Дано:	Так как ,  , Поделив обе части уравнение на , получим:

Ответ: радиус сферы равен 4.

 

Пример №2

 

 

Во сколько раз изменится площадь поверхности сферы, если ее радиус увеличили в три раза?

 

Так как площадь сферы . Если радиус увеличится в 3 раза, тогда . Соответственно, площадь увеличилась в 9 раз:

Замечание: если все измерения фигуры увеличить в  раз, площадь поверхности фигуры вырастет в  раз (рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к замечанию

 

Разветвление: задача

 

 

Представим себе, что Земля имеет форму шара. Предположим, что ее обтянули канатом по экватору – чтобы канат плотно прилегал к поверхности Земли (рис. 15). Затем канат удлинили на 1 м (рис. 16). Образовался просвет. Может ли в этот просвет пролезть мышка?

 

Рис. 15. Земля

Рис. 16. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть радиус земного шара – . Тогда длина каната будет После удлинения длина каната стала . Но если считать, что просвет между поверхностью Земли и новым канатом равен  (везде одинаков), то тогда получаем, что этот канат «обхватывает» шар радиуса , а значит, его длина равна .

Имеем, . Или . Так как  меньше 7, то .

Следовательно, в такой зазор, около 14 см, мышка точно сможет пролезть.

Обратим внимание, что полученный зазор не зависит от размеров шара, которым обтянута веревка. То есть, даже если веревкой был обтянут обычный школьный глобус, то после ее удлинения на 1 метр зазор все равно будет около 14 см.

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы познакомились с новыми телами вращения, а именно со сферой и шаром. Дали определения этих геометрических объектов, указали на их отличия, а также назвали все элементы этих тел. Познакомились с формулой площади сферы.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс.

 

Домашнее задание

1. Площадь большого круга шара равна 16. Найдите площадь поверхности шара.
2. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в шесть раз?
3. Площадь поверхности шара равна 225. Найдите радиус и площадь большого круга шара.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Math24 (Источник).
2. Интернет-портал Sernam.ru (Источник).
3. Интернет-портал Fxyz.ru (Источник).