Математика

Взаимное расположение окружности и прямой

 

Возможны три случая расположения окружности и прямой:

 

1. Прямая пересекает окружность в двух точках (когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса) (рис. 1а).

2. Прямая касается окружности (когда расстояние от центра до прямой равно радиусу) (рис. 1б).

3. Прямая не пересекает окружность (когда расстояние от центра до прямой больше радиуса) (рис. 1в).

Рис. 1. Взаимное расположение окружности и прямой

 

Взаимное расположение сферы и плоскости

 

 

1. Плоскость не пересекает сферу (рис. 2а).

 

2. Плоскость касается сферы (рис. 2б).

3. Плоскость пересекает сферу (рис. 2в).

Рис. 2. Взаимное расположение сферы и плоскости

Для доказательства воспользуемся методами алгебры.

 

Теорема о взаимном расположении сферы и плоскости

 

 

 

Рис. 3. Сфера радиуса  с центром в точке  и плоскость

Пусть дана сфера радиуса  и плоскость  (рис. 3), которая находится на расстоянии  от центра сферы. Введем систему координат в пространстве и будем считать, что плоскость  совпадает с плоскостью  (). Считаем, что центр сферы лежит на оси . Тогда раз расстояние до плоскости равно , то координаты центра  сферы будут .

Соответственно, уравнение сферы выглядит так: .

Если пересечь сферу плоскостью, то координаты всех точек, принадлежащих одновременно обеим фигурам, удовлетворяют системе:

Подставив , равное 0, в первое уравнение, имеем: .

Так как выражение  может принимать не только положительные значения, но также и отрицательные, рассмотрим три случая:

1. Если . Тогда сумма квадратов равна отрицательному числу – решений у такого уравнения нет, значит, и точек пересечения у плоскости и окружности нет.

2. Если . Тогда ; . Вспомнив, что и  у нас равно 0, имеем в пересечении одну точку .

3. Если . Тогда , а это уравнение окружности. Значит, сечение сферы плоскостью есть окружность. Соответственно, сечение шара плоскостью есть круг.

Стоит отметить, что при  данное сечение пройдет через центр сферы и получится окружность, радиус которой равен радиусу сферы. Такое сечение называют диаметральным.

 

Разветвление: теорема о касательной плоскости к сфере

 

 

Касательной плоскостью к сфере называют такую плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

 

Рис. 4. Радиус, проведенный в точку касания	Рис. 5. Иллюстрация к доказательству теоремы

Теорема: радиус сферы  (рис. 4), проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости.

Доказательство от противного: предположим, что радиус  проведенный в точку касания, не перпендикулярен плоскости. Тогда проведем перпендикуляр  к данной плоскости (рис. 5). Тогда расстояние  будет меньше, чем , так как  – наклонная, а  – перпендикуляр. Из этого следует, что точка  лежит внутри сферы, так как  меньше радиуса . А это значит, что имеется еще одна точка пересечения сферы и плоскости, что является противоречием. Значит, исходное предположение неверно и радиус  перпендикулярен касательной плоскости.

Обратная теорема: если радиус сферы перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной.

Доказательство: раз радиус перпендикулярен плоскости, то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу, а тогда плоскость и сфера имеют ровно одну общую точку. Значит, по определению, эта плоскость и есть касательная.

 

Теорема о сечении плоскостью сферы

 

 

Сечением сферы плоскостью является окружность.

 

Доказательство.

Рис. 6. Иллюстрация к доказательству теоремы

Пусть  – центр сферы,  – перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость . Тогда рассмотрим любые две точки  и , которые принадлежат сфере и плоскости одновременно (рис. 6).

Рассмотрим треугольники  и . Оба они прямоугольные,  – общий катет, , так как  и  лежат на сфере, а значит, по определению, равноудалены от центра сферы. Таким образом, треугольники  и  равны по катету и гипотенузе. А значит, . Итак, любые две выбранные таким образом точки  и  равноудалены от точки  и лежат с ней в одной плоскости – .

Множество точек данной плоскости, равноудаленных от точки  – это окружность с центром в точке .

 

Шаровой сегмент и шаровой слой

 

 

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью (рис. 7). Если плоскость пересекает шар, то она рассекает его на два шаровых сегмента. Круг сечения называют основанием шарового сегмента. Рассмотрим радиус шара, проходящий через центр круга сечения. Та его часть, которая находится внутри сегмента, называется высотой этого сегмента ( – высота сегмента,  – радиус сегмента).

 

Рис. 7. Шаровой сегмент	Рис. 8. Шаровой слой

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между параллельными плоскостями, пересекающими шар. По аналогии вводятся понятия оснований шарового слоя и высоты шарового слоя (рис. 8).

 

Шаровой сектор

 

 

 

Рис. 9. Шаровой сектор

Рассмотрим шаровой сегмент и конус, основанием которого является основание сегмента, а вершиной – центр шара. Объединение двух данных фигур и называется шаровым сектором (рис. 9).

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы познакомились со взаимным расположением сферы и плоскости. Вывили три возможные ситуации пересечения плоскости и сферы. Доказали теорему о касательной плоскости к сфере. Ввели понятия шарового сегмента, слоя и сектора

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс

 

Домашнее задание

1. Каково взаимное расположение сферы
    и плоскости ?
2. Каково взаимное расположение сферы
    и плоскости ?
3. 
   Через середину радиуса шара провели перпендикулярную к нему плоскость. Как относятся площади образованного сечения и большого круга шара?

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Fmclass.ru (Источник).
2. Интернет-портал Ppt4web.ru (Источник).
3. Интернет-портал Fxyz.ru (Источник).