Математика

Цилиндр, вписанный в призму

 

Говорят, что цилиндр вписан в призму (или призма описана около цилиндра), если основания цилиндра вписаны в соответствующие основания призмы (рис. 1). Очевидно, что их высоты совпадут (рис. 2).

 

Рис. 1. Цилиндр, вписанный в призму	Рис. 2. Цилиндр, вписанный в призму

 

Условия, при которых цилиндр можно вписать в призму

 

 

Нужно, чтобы в основание призмы можно было вписать окружность. Что для треугольной и правильной призмы верно всегда (рис. 3, 4).

 

Рис. 3. Цилиндр, вписанный в треугольную призму	Рис. 4. Цилиндр, вписанный в правильную шестиугольную призму

Вывод: цилиндр можно вписать в призму, если призма прямая, а в ее основание можно вписать окружность.

Для четырехугольный призмы необходимо чтобы призма была также прямой, а четырехугольник в основании был описанным. Т. е. суммы противоположных сторон были равны (рис. 5).

Рис. 5. Цилиндр, вписанный в четырехугольную призму

 

Задача №1

 

 

Условие: в правильную треугольную призму, все ребра которой равны 6, вписан цилиндр. Найти его радиус и высоту (рис. 6).

 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Заметим, что высота цилиндра равна высоте призмы, а значит, равна 6.

Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 6. Радиус этой окружности находим по формуле , то есть он равен . 

Ответ: .

 

Цилиндр, описанный около призмы

 

 

Говорят, что цилиндр можно описать около призмы (или призму вписать в цилиндр), если основания призмы вписаны в основания цилиндра. В данном случае, очевидно, снова будут равны высоты (боковые стороны призмы и образующие цилиндра) (рис. 7).

 

Рис. 7. Цилиндр, описанный около призмы

 

Условия, при которых цилиндр можно описать около призмы

 

 

Цилиндр можно описать около призмы, когда основание призмы можно вписать в окружность. Для треугольной -угольной правильной призмы – всегда, для четырехугольной – когда сумма противоположных углов в основании дает 180 градусов (рис. 8).

 

Рис. 8. Цилиндр, описанный около четырехугольной призмы

 

Задача №2

 

 

Условие: дана правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр. Радиус основания цилиндра равен 7, а площадь боковой поверхности цилиндра равна 28. Найти площадь боковой поверхности призмы (рис. 9).

 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Сперва найдем высоту цилиндра. Так как , то .

Значит, и боковое ребро призмы также равно 2.

Далее, в основании призмы лежит правильный шестиугольник, вписанный в окружность. Как известно, сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то есть 7.

Тогда площадь боковой поверхности призмы равна .

Ответ: 84.

 

Разветвление: задача №3

 

 

Условие. Дана четырехугольная прямая призма, все ребра которой равны 1. Известно, что около этой призмы можно описать цилиндр. Найдите объем призмы и площадь полной поверхности данного цилиндра (рис. 10).

 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Так как все ребра равны, то в основании призмы лежит ромб. Раз можно описать цилиндр около призмы, то ромб можно вписать в окружность, а значит, этот ромб – квадрат. Следовательно, призма – это куб со стороной 1, его объем также равен 1.

Высота цилиндра – 1, а радиус окружности равен половине диагонали квадрата, то есть . Тогда .

Ответ: .

 

Заключение

 

 

На уроке мы разобрали комбинации призмы и цилиндра, а также решили задачи по темам: цилиндр, описанный вокруг призмы и цилиндр, вписанный в призму.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс.

 

Домашнее задание

1. В правильную треугольную призму, все ребра которой равны 12, вписан цилиндр. Найти его радиус и высоту.
2. Дана правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр. Радиус основания цилиндра равен 10, а площадь боковой поверхности цилиндра равна 100. Найти площадь боковой поверхности призмы.
3. Дана четырехугольная прямая призма, все ребра которой равны 2. Известно, что около этой призмы можно описать цилиндр. Найдите объем призмы и площадь полной поверхности данного цилиндра.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
2. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
3. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).