Математика

Задача №1

 

Условие: шар радиуса 25 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 24 дм от центра. Найти площадь сечения (рис. 1).

 

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 и 2

Дано:

Решение:

 (рис. 1.  – центр шара,  – центр круга, который является сечением). Пусть  – произвольная точка на окружности сечения.  – радиус шара.

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

, тогда ;

Площадь сечения равна:

Ответ: площадь сечения равна .

 

Задача №2

 

 

Условие: расстояние от центра шара до секущей его плоскости равно 2 см. Площадь сечения шара плоскостью равна 16 см². Найти радиус этого шара.

 

Дано:

см²

Решение:

Смотри рис. 1.

 (рис. 1.  – центр шара,  – центр круга, который является сечением).

Пусть  – произвольная точка на окружности сечения.

 – радиус шара,  – радиус сечения.

Площадь сечения равна:

, тогда .

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

, тогда

.

Ответ: радиус шара равен  см.

 

Задача №3

 

 

Условие. Стороны треугольника  касаются сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости , если , ,  (рис. 2).

 

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Зная радиус сферы, нужно найти расстояние от центра до плоскости. Для этого достаточно найти радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью. Тогда из прямоугольного треугольника  ( – центр сферы,  – центр окружности сечения,  – точка на этой окружности) мы сможем найти искомое расстояние.

Найдем радиус окружности сечения. Она является вписанной для треугольника . Воспользуемся формулой: . Тогда ;

 – полупериметр.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

.

Соответственно:

Найдем расстояние от центра сферы до плоскости.

Искомое расстояние – это катет треугольника  с гипотенузой 5 и другим катетом 4. Тогда легко показать, что .

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости  равно 3 см.

 

Задача №4

 

 

Условие. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 4	Рис. 4. Иллюстрация к задаче 4	Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Решение. Рассмотрим сечение сферы плоскостью ромба. Это окружность, которая вписана в ромб. Найдем ее радиус (рис. 3).

Очевидно, это будет половина высоты ромба. То есть это высота прямоугольного треугольника с катетами 10 и 7,5. По теореме Пифагора гипотенуза, то есть сторона ромба, равна  

Тогда высота треугольника  (рис. 4) равна .

По теореме Пифагора найдем искомое расстояние от центра до плоскости  (рис. 5). Имеем треугольник, подобный «египетскому» треугольнику, то есть недостающий катет его равен 8.

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно 8 см.

 

Задача №5

 

 

Условие. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на касательной плоскости к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки сферы.

 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5	Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5	Рис. 8. Иллюстрация к задаче 5

Решение. Пусть центр сферы – точка , точка касания – точка , а данная точка – . Тогда ,  (рис. 6).

Пусть  пересекает сферу в точке . Тогда точка  – искомая точка (рис. 7). Докажем, что оно наименьшее.

Пусть точка  (отличная от ) (рис. 8) на сфере такова, что . Тогда . Но  по неравенству треугольника. Значит,  – искомое.

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

 Тогда .

Ответ: расстояние равно 1 см.

 

Более сложная задача

 

 

Условие. Через точку сферы радиуса  провели две плоскости, одна из которых касается сферы, а другая наклонена к первой под углом . Найти длину окружности сечения сферы второй плоскостью (рис. 9).

 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче	Рис. 10. Иллюстрация к задаче	Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Решение. Очевидно, нужно найти радиус искомого сечения. Пусть  – центр сферы,  – точка, через которую провели две плоскости,  – центр окружности сечения (рис. 10).

Заметим, что угол  равен 90 градусам. Действительно, по теореме  перпендикулярен касательной плоскости, а значит, и любой прямой в данной плоскости, в частности прямой  (рис. 11).

Соответственно, угол .

Рассмотрим треугольник  (прямоугольный). По определению косинуса, . А тогда длина окружности равна

Ответ:

 

Заключение

 

 

На данном уроке мы применили полученные теоретические знания по теме: «Сфера и шар» на практике. Решили несколько задач на эту тему.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс 

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Math24.ru (Источник).
2. Ppt4web.ru (Источник).
3. Fxyz.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Шар радиуса 15 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найти площадь сечения.
2. Расстояние от центра шара до секущей его плоскости равно 4 см. Площадь сечения шара плоскостью равна 4 см². Найти радиус этого шара.
3. Радиус сферы равен 12 см. Точка, лежащая на касательной плоскости к сфере, удалена от точки касания на 5 см. Найти расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки сферы.