Математика

Цилиндр, вписанный в сферу (шар)

 

Говорят, что цилиндр вписан в шар (сферу), если каждое его основание лежит на сфере данного шара (рис. 1). Любой цилиндр может быть вписан в шар.

 

Так как основания цилиндра имеют равный радиус, то расстояние от центра до их плоскостей одинаково, а значит, в силу их параллельности, центр находится в середине высоты цилиндра (рис. 2).

Рис. 1. Цилиндр, вписанный в шар	Рис. 2. Цилиндр, вписанный в шар

 

Задача №1

 

 

Условие: цилиндр, радиус основания которого равен 6 см, вписан в шар радиуса 10 см. Найти высоту цилиндра (рис. 3).

 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Пусть центр шара – , проекция его на основание цилиндра – , точка на границе этого основания – . Тогда из треугольника   (радиус шара),  (радиус цилиндра), значит,  («египетский» треугольник). Но это половина высоты, а значит, искомая высота – 16 см.

Ответ: 16 см.

 

Шар, вписанный в цилиндр

 

 

Говорят, что шар (сфера) вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра и его боковой поверхности (рис. 4).

 

 

Рис. 4. Шар, вписанный в цилиндр

1.      Так как шар касается боковой поверхности, то в соответствующем сечении должен получиться круг, радиус которого равен радиусу шара. А значит, радиус цилиндра равен радиусу шара (рис. 5).

2.       Высота должна быть равна диаметру шара (рис. 6).

Рис. 5. Шар, вписанный в цилиндр	Рис. 6. Шар, вписанный в цилиндр

Таким образом, совсем не любой цилиндр может быть описан около шара, для этого нужно, чтобы его высота была вдвое больше радиуса основания.

 

Задача №2

 

 

Условие: шар вписан в цилиндр. Во сколько раз площадь полной поверхности цилиндра больше площади поверхности шара?

 

Решение

Радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра – диаметру шара.

Площадь поверхности шара равна .

Площадь полной поверхности цилиндра есть  ().

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: 1,5.

 

Призма, вписанная в шар

 

 

Призма называется вписанной в шар (сферу), если все ее вершины лежат на поверхности шара (рис. 7). В дальнейшем рассматриваются только прямые призмы.

 

Рис. 7. Призма, вписанная в шар

Аналогично цилиндру, центр описанного шара будет находиться в центре высоты призмы.

Прямую призму можно вписать в шар тогда и только тогда, когда ее основание можно вписать в окружность. Как следствие, любую треугольную призму (рис. 8), а также любую правильную призму (рис. 9) можно вписать в шар.

Рис. 8. Треугольная призма, вписанная в шар	Рис. 9. Правильная шестиугольная призма, вписанная в шар

Четырехугольную призму можно вписать в шар, если ее основание является вписанным четырехугольником, т. е. сумма его противоположных углов равна 180 градусов (рис. 10).

Рис. 10. Четырехугольная призма, вписанная в шар

 

Шар, вписанный в призму

 

 

Говорят, что шар вписан в призму, если он касается всех ее граней (рис. 11).

 

Рис. 11. Шар, вписанный в призму

Аналогично цилиндру высота призмы также равна диаметру шара.

Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

Итак, вписать шар в призму можно только тогда, когда ее высота вдвое больше радиуса окружности, вписанной в основание.

 

Задача №3

 

 

Условие: дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 6. Известно, что в нее можно вписать шар и около нее можно описать шар. Найти отношение их радиусов (рис. 12).

 

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Начнем со вписанного шара. Его радиус совпадает с радиусом окружности, вписанной в треугольник основания. Этот радиус равен , то есть . Но тогда высота призмы равна .

Далее, центр описанного шара находится в середине высоты, то есть расстояние от него до плоскости основания равно . Пусть центр этого шара , центр основания – . Тогда  (как радиус описанной окружности, например). И значит,  по теореме Пифагора.

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: .

 

Заключение

 

 

---

 

Задача.

Условие: правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 13. Высота призмы равна 24. Найти площадь полной поверхности призмы (рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 4	Рис. 14. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Разумеется, достаточно найти сторону основания. Пусть  – центр шара,  – центр основания  призмы (рис. 14). Тогда , , а значит,  по теореме Пифагора.

Как известно, радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Значит, сторона призмы – 5.

Найдем площадь ее боковой поверхности –  Основание призмы состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной 5 (и таких оснований 2, итого, 12 треугольников). Значит, суммарная площадь оснований равна .

Ответ: .

---

На уроке мы разобрали комбинации шара, призмы и цилиндра, а также решили задачи по этим темам.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс.

 

Домашнее задание

1. Цилиндр, радиус основания которого равен 12 см, вписан в шар радиуса 20 см. Найти высоту цилиндра.
2. Дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 12. Известно, что в нее можно вписать шар и около нее можно описать шар. Найти отношение их радиусов.
3. Правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 10. Высота призмы равна 16. Найти площадь полной поверхности призмы.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
2. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
3. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).