Математика

Пирамида, вписанная в шар

 

Шар называют описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды принадлежат поверхности шара. Пирамиду в этом случае называют вписанной в шар (рис. 1).

 

Рис. 1. Пирамида, вписанная в шар	Рис. 2. Пирамида, вписанная в шар

Несложно заметить, что вершины основания пирамиды лежат в одной плоскости, значит, они должны принадлежать одной окружности описанного шара. Таким образом, необходимым условием для того, чтобы вписать пирамиду в шар, является то, что многоугольник основания является вписанным (рис. 2).

Докажем, что это является также и достаточным условием.

 

Разветвление: доказательство

 

 

Заметим, что если основание пирамиды можно вписать в окружность, то ГМТ равноудаленных от вершин основания – перпендикуляр к плоскости основания, проведенный через центр описанной окружности (рис. 3). Осталось найти на этой прямой точку, которая равноудалена от вершин основания и от вершины пирамиды. Для этого рассмотрим любую вершину  основания и вершину  пирамиды. ГМТ точек, равноудаленных от них, – плоскость, проходящая через середину  перпендикулярно ему. Но эта плоскость не может быть параллельна перпендикуляру к плоскости основания – в противном случае, точка  лежала бы в основании (рис. 4). Значит, условие вписанности основания является необходимым и достаточным.

 

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству	Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Любая треугольная пирамида, а также любая правильная пирамида могут быть вписаны в шар.

 

Задача №1

 

 

Условие. Найти радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 2 (рис. 5).

 

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1	Рис. 6. Треугольник

Решение

Рассмотрим пирамиду , все ребра которой равны 2. Пусть  – центр основания,  – центр шара. Тогда очевидно, что  лежит на , причем . И пусть  – середина .

Рассмотрим плоскость  (рис. 6). По теореме Пифагора из треугольника  высота  равна , а тогда . Далее найдем  по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике  .

Пусть . Тогда ;  

.

Решим уравнение: ;

Осталось заметить, что радиус шара равен , то есть:

.

Ответ:

 

Шар, вписанный в пирамиду

 

 

Шар называется вписанным в пирамиду, если он касается плоскостей всех граней пирамиды (рис. 7).

 

Рис. 7. Шар, вписанный в пирамиду

В любую треугольную (рис. 8) и любую правильную пирамиду можно вписать шар, причем его центр будет лежать на высоте пирамиды, а точки касания с боковыми гранями – на апофемах (рис. 9).

Рис. 8. Шар, вписанный в треугольную пирамиду	Рис. 9. Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду

 

Задача №2

 

 

Условие: найти радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду , сторона основания которой равна 10, а боковое ребро – 13 (рис. 10). 

 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 2	Рис. 11. Треугольник

Решение

Пусть  – центр шара,  – центр основания,  – середина ,  – середина . В силу сформулированного утверждения  лежит на . Рассмотрим треугольник . По условию расстояния от точки  до ,  и  должны быть равными – это и есть радиусы шара. Таким образом,  – просто центр вписанной окружности в треугольник , радиус этой окружности и надо найти (рис. 11).

Очевидно, ,  из треугольника  равно 12 (в силу теоремы Пифагора).

Тогда .

Значит

Ответ: .

 

Заключение

 

 

На уроке мы разобрали комбинации шара и пирамиды, а также решили задачи на нахождение радиусов вписанного и описанного шара.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс.

 

Домашнее задание

1. В правильный тетраэдр с ребром 6 вписана сфера. Найдите радиус сферы.
2. В правильный тетраэдр вписана сфера радиуса 5. Найдите радиус сечения этой сферы плоскостью, перпендикулярной высоте тетраэдра и делящей ее в отношении 2:1, считая от вершины тетраэдра.
3. Около правильного тетраэдра описана сфера радиуса 5. Найдите длину ребра тетраэдра.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
2. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
3. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).