Математика

Введение

 

Как всегда, речь пойдет исключительно о прямых круговых конусах и усеченных конусах (см. Рис. 1).

 

Рис.1 Прямой круговой и усеченный

 

Шар, описанный около конуса

 

 

Шар называют описанным около конуса, если вершина конуса и окружность основания конуса принадлежат поверхности шара. Конус в этом случае называют вписанным в шар (см. Рис. 2). Аналогично с усеченным: его можно вписать в шар, если окружности обоих его оснований лежат на поверхн

 

Рис.2 Шар, описанный около конуса

Всегда ли конус можно вписать в шар? Оказывается, что всегда.

Доказательство. Пусть  – вершина конуса,  – диаметр его основания,  – высота конуса ().

Рис.3 Иллюстрация условия

Тогда рассмотрим осевое сечение , около которого можно описать окружность (свойство треугольника) (см. Рис. 4).

 

Рис.4 Окружность, описанная около треугольника

Отметим точку  – центр описанной окружности около треугольника . Она лежит на перпендикуляре , но не обязательно строго на отрезке  – она может лежать и вне его, вне конуса, например под точкой  (см. Рис.5).

 

Рис.5 Возможные расположения точки

Но это неважно. Важно доказать, что если точка  равноудалена от точек ,  и  (см. Рис. 6), то она является центром описанного шара.

Рис.6  равноотдалена от точек ,  и

Для этого необходимо доказать, что точка  и все точки основания лежат на поверхности шара. Рассмотрим шар с центром в точке  и радиусом  (см. Рис. 7).

Рис. 7 Шар с центром в точке   и радиусом

По построению , значит, точки  и  также лежат на поверхности шара (они удалены на радиус ). С другой стороны, если рассмотреть любую точку , которая лежит на основании конуса, то  (по двум катетам:  – общий катет,  – как радиусы основания) (см. Рис. 8).

Рис.8

Тогда гипотенузы тоже равны , значит, , откуда следует, что точка  также лежит на поверхности шара.

Либо проще.  – перпендикуляр, ось конуса. Любая точка на оси равноудалена от точек окружности основания. Тогда, раз точка  равноудалена от точек ,  и , значит, она и является центром искомого шара (см. Рис. 9). Что и требовалось доказать.

Рис. 9  – центр искомого шара

---

Доказательство.

Докажем, что конус всегда можно вписать в шар. По сути, нужно найти точку, которая равноудалена от вершины конуса и всех вершин окружности его основания. Заметим, что ГМТ (ГМТ - геометрическое место точек) равноудаленных от окружности основания, – это перпендикуляр, проведенный к плоскости основания из центра этой окружности (см. Рис. 1).

 

Рис.1 ГМТ, равноудаленных от окружности основания

С другой стороны, ГМТ равноудаленных от точек  и  – это плоскость, проходящая через середину отрезка , перпендикулярная ему. Очевидно, эта плоскость не параллельна высоте конуса, а значит, пересекает ее (см. Рис. 2).

 

Рис.2 ГМТ равноудаленных от точек  и

Точка пересечения и будет искомым центром шара, т. к. она равноудалена от точек основания конуса и от его вершины (см. Рис. 3). Отметим, что эта точка может быть как внутри конуса, так и вне его.

Рис.3 Точка пересечения плоскости и высоты конуса

 

Пример 1

 

 

Дан конус, образующая , высота . Найти радиус описанного шара .(см. Рис. 10).

 

Рис.10 Иллюстрация к примеру

Решение. Как известно, центр шара совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса. Соответственно, радиус описанного шара равен радиусу этой окружности. Тогда найдем радиус окружности, описанной около треугольника . Рассмотрим осевое сечение  (см. Рис. 11).

Рис. 11 Осевое сечение

Видно, что  и  – египетские, значит, . (см. Рис. 12).

 

Рис. 12 Египетские треугольники в осевом сечении

По следствию из теоремы синусов (см. Рис. 13).

Рис.13 Иллюстрация к теореме синусов

Ответ: .

Можно было найти радиус и по формуле .

 

Шар, описанный около усеченного конуса

 

 

Шар называют описанным около усеченного конуса, если оба основания усеченного конуса лежат на  поверхности шара (см. Рис. 14).

 

Рис.14 Шар, описанный около усеченного конуса

Всегда ли усеченный конус можно вписать в шар? Рассмотрим осевое сечение, на этот раз им будет трапеция (см. Рис. 15).

Рис. 15 Трапеция – осевое сечение

Нужно, чтобы около осевого сечения можно было описать окружность (см. Рис. 16).

Рис. 16 Вписанная в окружность трапеция

Это можно сделать только в том случае, когда трапеция равнобедренная. С другой стороны, образующие всегда равны, значит, трапеция будет равнобедренной. То есть около любого усеченного конуса можно описать шар, и центр этого шара будет совпадать с центром окружности, описанной около осевого сечения. Аналогично с радиусом – радиус шара мы будем искать как радиус описанной около трапеции окружности (см. Рис. 17).

Рис. 17 Центр и радиус описанного шара

Рассмотрим теорию на примере.

 

Пример 2

 

 

Дан усеченный конус, радиусы оснований , , а высота . Найти радиус шара, описанного около данного усеченного конуса  (см. Рис. 18).

 

Рис.18 Иллюстрация к примеру

Решение. Необходимо найти радиус окружности, описанной около трапеции . Рассмотрим осевое сечение – равнобедренную трапецию  ( как образующие). Ее основания ,  (диаметры оснований усеченного конуса), высота  (см. Рис. 19).

Рис. 19 Выносной рисунок трапеции

Найдем радиус описанной окружности двумя способами.

Способ 1. Пусть  – центр искомой описанной окружности. Опустим перпендикуляр  – он разделит отрезки и  пополам. Пусть ,  и  (как радиусы описанной окружности) (см. Рис. 20).

Рис.20 Способ 1

Рассмотрим  и . По теореме Пифагора:

Раскрывая скобки и вычитая из верхнего нижнее, находим .

Получили, что длина отрезка отрицательная. На самом деле, противоречия нет, просто мы неверно отметили точку . То, что  отрицателен, означает, что на самом деле точка  лежит ниже . В этом случае , а не  (см. Рис. 21).

Рис. 21 Верное положение точки

Тогда получаем, что ; .

Способ 2. Можно найти радиус описанной окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого являются также вершинами трапеции, например  (см. Рис. 22).

Рис.22 Радиус искомой окружности совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника

Найдем радиус по формуле .

Проведем  и  – высоты трапеции.

Далее, .

Тогда ,  (см. Рис. 23).

Рис.23 Вычисление элементов

Значит .

Ответ:.

 

Шар, вписанный в конус (усеченный конус)

 

 

Шар вписан в конус, если поверхность шара касается основания конуса и его боковой поверхности (см. Рис. 24).

 

Рис.24 Шар, вписанный в конус

Что значит «шар касается основания и боковой поверхности»? Касание шара с основанием – это касание шара плоскости основания (см. Рис. 25).

Рис.25 Касание шара с плоскостью основания

Под фразой «шар касается боковой поверхности конуса» подразумевается, что шар «не выходит» за границы конуса, однако соприкасается с ним, то есть у них есть общая окружность на боковой поверхности (см. Рис. 26).

Рис.26 Общая окружность при касании шара с боковой поверхностью

Радиус такого шара ищется через радиус окружности, вписанной в осевое сечение (см. Рис. 27).

Рис.27 Окружность, вписанная в осевое сечение

Возникает вопрос: всегда ли шар можно вписать в конус? Всегда, т. к. в треугольник всегда можно вписать окружность.

Шар вписан в усеченный конус, если он касается оснований усеченного конуса и его боковой поверхности (см. Рис. 28).

Рис.28 Шар, вписанный в усеченный конус

 

Радиус такого шара можно найти через радиус окружности, вписанной в осевое сечение – трапецию (см. Рис. 29).

Шар вписать в усеченный конус можно не всегда, ведь в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон (см. Рис. 30).

Рис.30 Суммы противоположных сторон

Иначе говоря, сумма радиусов усеченного конуса должна быть равна образующей (см. Рис. 31) – это необходимое и достаточное условие для существования вписанного в усеченный конус шара.

Рис. 31 Сумма радиусов равна

 

Пример 3

 

 

Дан конус, , . Найти радиус вписанного в него шара  (см. Рис. 32).

 

Рис.32 Иллюстрация к задаче

Решение. Достаточно найти радиус окружности, вписанной в треугольник – осевое сечение. Рассмотрим осевое сечение .  (образующие конуса), , , тогда . По теореме Пифагора из  (прямоугольный)  Получаем , тогда (см. Рис. 33).

Тогда по формуле
.

Рис.33 Выносной рисунок осевого сечения

Ответ:
.

Рис.34 Иллюстрация к условию задачи

Задача

Дан усеченный конус, в который вписан шар. Основания конуса  и . Найти радиус вписанного шара  (см. Рис. 34).

Решение. Рассмотрим осевое сечение – это равнобедренная трапеция. Так как в нее можно вписать окружность, то образующая равна сумме радиусов, то есть 15.

Рис.35 Равнобедренная трапеция в сечении

Проведем две высоты. Получаем, что отрезки, на которые они разделили основание, равны 9-6-9 (см. Рис. 36).

Рис.36 Проведенные высоты

Значит, по теореме Пифагора  (см. Рис. 37).

Тогда
.

Ответ:.

Рис. 37. Прямоугольный

 

Заключение

 

 

Сегодня речь шла о таких конструкциях, как шар – конус и шар – усеченный конус. Мы выяснили, когда шар можно описать около конуса и усеченного конуса и как искать радиус такого шара (радиус описанного шара – это радиус окружности, описанной около осевого сечения конуса (усеченного конуса)). Кроме того, мы выяснили, когда шар можно вписать в конус (усеченный конус) и как искать радиус такого шара (радиус вписанного шара – это радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса (усеченного конуса)).

 

 

Список литературы

Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт hot.ee (Источник)
2. Интернет-сайт hot.ee  (Источник)
3. Интернет-сайт schools.keldysh.ru (Источник)

 

Домашнее задание

Равносторонний конус (осевое сечение – равносторонний треугольник) вписан в шар. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 6 см. В шар вписан конус так, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Найдите объем шара, если объем конуса равен 12. Около сферы радиуса описан конус, высота которого равна . Найдите площадь полной поверхности конуса.