Математика

Введение

 

Есть три типа задач на проценты. На этом уроке мы научимся решать задачи всех этих типов.

 

Во всех таких задачах есть:

• исходное количество, обозначим его буквой ;
• некое количество процентов, обозначим буквой ;
• и результат, обозначим его буквой .

Найти несколько процентов от числа – это то же самое, что найти дробь от числа, ведь проценты – это тоже дробь. Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь. Например, чтобы найти  от , нужно  умножить на эту дробь: .

Точно так же, чтобы найти несколько процентов от числа , мы можем проценты записать в более привычном для нас виде, десятичной дробью, и получить эквивалентную задачу – найти дробь от числа . Для этого нужно число  умножить на эту дробь: .

Пример: найдем  от . Перепишем проценты в виде десятичной дроби  и найдем  от : . То есть задачу «найти  от » мы сформулировали в эквивалентном виде «найти  от » и решили ее.

 

Типы задач

 

 

Задача появляется, когда одно из этих трех значений неизвестно.

 

• Известны  и . То есть исходное количество и проценты. Не известен результат: .
• Неизвестно исходное количество, зато известно, чему равно некоторое количество процентов от него: .
• Известно исходное количество и его часть, нужно определить, сколько процентов эта часть составляет: .

Этими тремя случаями все и исчерпывается. Рассмотрим их более подробно.

 

Первый тип задач (известно исходное количество и проценты)

 

 

Пример . В школе учится  человек,  – это девочки,  из них – отличницы. Сколько девочек учится в школе? Сколько в школе отличниц?

 

Решение

Начнем с первого вопроса: сколько в школе девочек? Используем наш алгоритм: .

Нам известно общее число школьников и сколько процентов из них девочки. Заменим  десятичной дробью: . То есть девочки составляют  от общего количества учащихся. Чтобы найти дробь от числа, их нужно перемножить: . В школе учится  девочек.

Найдем теперь число отличниц среди девочек. Отличниц  от . Подставим сразу значение в виде десятичной дроби: . В школе  отличницы.

Ответ: в школе  девочек, из них  отличницы.

Пример . В этом году выпало  осадков от нормы. Норма –  мм. Сколько выпало осадков?

Решение

Найдем  от . Мы снова знаем исходное количество и число процентов. Неизвестен результат. Запишем проценты в виде десятичной дроби () и подставим в наш алгоритм:  мм.

Ответ: выпало  мм осадков.

Таким образом, если есть число  и нужно найти  от этого числа, то необходимо перевести проценты в дробь и умножить на число (Рис. 1).

Рис. 1. Нахождение процента от числа

Пример . Яблоки стоили  рублей за килограмм. Цена выросла на . Какова новая цена?

Решение

 способ: Найдем, на сколько выросла цена. .

 руб.

Теперь добавим эту добавку к исходной цене:  руб.

 способ: Сколько процентов от старой цены составляет новая? Была , увеличилась на , стала . То есть надо найти  от исходной цены. .

 руб.

Ответ: новая цена –  рубля за килограмм.

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, нужно представить, сколько процентов получится в итоге. И решить эту задачу по общему алгоритму.

Пример. Увеличить  на , на .

Увеличение на  означает, что в итоге будет . Найдем  от : .

Увеличение на  означает, что в итоге будет . Найдем  от : .

Такая же ситуация с уменьшением на какое-то количество процентов. Нужно понять, сколько процентов будет в итоге.

Пример. Уменьшить  на .

Раз число уменьшилось на , значит, от него осталось . То есть нужно найти  числа : .

Ветка. Решение прямых задач на проценты. Практика

Задание . От числа  найти , , , .

Решение

1. 
2. 
3. 
4. 

Задание . Увеличить число  на , , .

Решение

1. Увеличить на , значит, в итоге получится . Найдем их от числа : .
2. Увеличить на , значит, найти : .
3. Увеличить на , значит, найти уже : .

Задание . Уменьшить число  на , на , на .

Решение

1. Уменьшить на , значит, найти : .
2. Уменьшить на , значит, найти : .
3. Уменьшить на , значит, найти оставшиеся :

 

Второй тип задач (неизвестно исходное количество)

 

 

Пример .  выпускников сдали все экзамены на отлично. Сколько всего выпускников, если отличников  человек?

 

Решение

Применяем наш алгоритм: .

Нам неизвестно общее число учеников – это . Зато нам известно, что  от них – это  человек. Подставим известные значения: . Осталось найти . Выразим : . Получаем  выпускников.

Проверим: найдем  от общего количества учеников, от : . Все верно.

Ответ:  выпускников.

Итак, второй тип задач заключается в следующем: нам неизвестно исходное количество, но известно все остальное: количество процентов и результат. Нужно подставить известные значения и выразить , исходное число.

Пример . Чему равно число, если его  равны ?

Решение

Выписываем нашу строку-алгоритм: . Подставляем известные величины: . Выражаем : .

Ответ: .

---

 

Нахождение числа по его проценту. Тренировка

Найдите число, если его  равны ,  равны ,  равны .

Решение

Вспоминаем наш алгоритм: .

1. 
2. 
3. 

Пример . Цена выросла на  и составила  рублей. Какова была начальная цена?

Решение

Снова наш алгоритм: .  – начальная цена,  – цена после увеличения.

Чтобы увеличить цену  на , нужно умножить ее на , получим новую цену : . Осталось выразить и найти начальную цену : .

Ответ:  рублей.

---

 

 

Третий тип задач (неизвестен процент)

 

 

Пример . В классе  человек, из них  отличников. Сколько процентов отличников в классе?

 

Решение

Мы знаем исходное число и сколько получилось в итоге. Но не знаем сколько процентов это составляет: . Подставим известные значения: . Выразим : .

Ответ: в классе  отличников.

---

 

Нахождение числа процентов. Тренировка

Сколько процентов число  составляет от , от , от ?

Решение

Снова используем наш алгоритм. Известно исходное число и результат. Неизвестны проценты: .

1. Подставляем известные значения. Здесь нужно не запутаться.  – это какое-то количество процентов от . Исходное число : .
2. 
3. 

Пример . На сколько процентов выросла цена, если была  руб., а стала  руб.?

Решение

Известны начальная и новая цены. Неизвестно, насколько процентов она изменилась: . Подставляем их: . Выражаем : .

 - это сколько новая цена составляет от старой. Следовательно, цена выросла на .

Ответ: цена выросла на .

---

 

 

Заключение

 

 

Все задачи на проценты решаются по одному алгоритму.

 

Выписываем строчку .

 – исходное число,  – проценты, переведенные в десятичную дробь,  – новое число.

Теперь, читаем задачу. Смотрим, какие из этих чисел нам известны. Должны быть известны два. Третье находим.

Пользуясь этим алгоритмом, мы можем решить любую задачу на проценты.

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. М: Мнемозина, 2013.
2. Математика 5 класс. Ерина Т.М. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. М.: Экзамен, 2013.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. М.: Вентана-Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «math-prosto.ru» (Источник)
2. Интернет портал «yaklass.ru» (Источник)
3. Интернет портал «igraemsami.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. В классе  человек. Контрольную работу по математике  учащихся написали на 5,  написали на 4,  всех учащихся получили 2. Сколько пятерок, четверок, троек и двоек получил класс?
2. Токарю нужно было сделать  деталей, но он перевыполнил план на . Сколько деталей изготовил токарь?
3. За  час станок-автомат изготовлял  деталей. После реконструкции этого станка он стал изготовлять в час  таких же деталей. На сколько процентов повысилась производительность станка?