Математика

Введение

 

В жизни мы практически каждый день видим такие рисунки (Рис. 1). Это знаки.

 

Рис. 1. Знаки

Их понимают практически все, поэтому их используют там, где необходимо сообщить какую-то информацию большому количеству разных людей: в аэропортах, на железнодорожных вокзалах, там, где много иностранцев, или на автомобильных дорогах (Рис. 2).

Рис. 2. Знаки и их значение

Этот знак мы не понимаем (Рис. 3). Но в Китае его понимают все – там он и используется.

Рис. 3. Китайский иероглиф

Люди придумали знаки, чтобы что-то сообщать друг другу. Из всего того, что люди сообщают посредством речи, можно выделить слова, которые означают предметы, и слова, которые означают понятия, на которые нельзя указать (дружба, любовь, опасность и т.д.) (Рис. 4).

Рис. 4. Первый столбец – предметы, второй столбец – понятия, на которые нельзя указать

Знак «сердечко» тоже означает не предмет, а отношение человека к объекту (Рис. 5).

Рис. 5. Смысл знака «сердечко»

Получается, что знаки можно различать по типу объекта, которые они означают. А можно поступить по-другому – различать знаки по их виду.

• Изобразительные. Такие знаки понятны практически любому, ведь в них угадываются отличительные особенности реальных объектов (Рис. 6).

Рис. 6. Знак «Пешеходный переход» и иероглиф «Дверь»

• Символы. Это, например, любое записанное слово или знак «кирпич». Такие знаки понятны только тем, кто заранее знает, что они означают (Рис. 7).

Рис. 7. Символ

Слова – это самые часто употребляемые знаки. И для записи слов придумали алфавит (Рис. 8).

Рис. 8. Алфавит

---

 

Алфавит и иероглифы

Мы используем алфавитное письмо. То есть все слова состоят из букв (Рис. 1).

Рис. 1. Буквы

Сама буква не несет никакого смысла. И только соединенные в определенном порядке вместе буквы образуют слово. Таким образом, единица алфавита, буква – это знак, который обозначает только лишь сам себя (Рис. 2).

 

Рис. 2. Буквы, стоящие в определенном порядке, образуют слово

А иероглиф – это знак, который обозначает целый предмет. Иероглифы обозначают сразу целое слово (Рис. 3).

Рис. 3. Иероглифы обозначают слово

Существенное отличие двух этих систем записи в том, что любое новое слово в русском языке может быть записано с использованием уже имеющихся букв. Например, относительно недавно из букв И, Н, Е, Т, Р появилось слово «интернет» (Рис. 4).

Рис. 4. Образование новых слов

При использовании иероглифов для записи нового слова нам потребовался бы новый символ (Рис. 5).

Рис. 5. Новый символ

Как видите, алфавитная система гораздо экономней. Для записи любого слова необходимо всего лишь  символа. А англичане обходятся только лишь 26 символами (Рис. 6).

Рис. 6. В английском алфавите  букв

---

 

Словами мы можем описать, например, свойство предмета – зеленый, высокий (Рис. 9).

 

Рис. 9. Слова описывают свойства

А какое свойство есть у множества предметов? Причем общее свойство, присущее любому множеству. Это количество предметов (Рис. 10).

Рис. 10. Количество предметов – общее свойство всех множеств

Для записи количества используются другие символы – цифры. Цифры – это словно буквы для чисел. Мы привыкли использовать десять цифр: . Используя цифры, можно записать абсолютно любое число:  и т.д.

 

Функции чисел

 

 

Числа, как и слова, это знаки-символы. Натуральное число обозначает только лишь количество предметов в множестве, независимо от того, что это за предметы. Мы говорим «пять», «шесть», зная, что называем только лишь количество, а не сами предметы. Получается, что одна из основных функций чисел – это обозначение количества (Рис. 11).

 

Рис. 11. Числа обозначают количество

Кроме количества, натуральные числа могут задать порядок. Эта роль числа также очень важна (Рис. 12). Только представьте, как бы мы искали места в кинотеатре, если бы на каждом из них было написано имя купившего билет.

Рис. 12. В данном случае число задает порядок

Третьей, не менее важной и привычной для нас функцией натурального числа, может быть его использование в качестве имени. Когда мы записываем в телефон номер друга, мы словно присваиваем ему числовое имя. Ясно, что это просто набор цифр, который не обозначает количество, не задает какой-либо порядок, это просто имя телефона друга в телефонной книге (Рис. 13).

Рис. 13. Число в роли имени

Другими примерами использования этой функции чисел могут быть автомобильные номера, номера паспортов и т.д. (Рис. 14).

Рис. 14. Примеры использования чисел в качестве имен

Все три функции чисел и их записи существенно отличаются. Если использовать числа для определения количества, то их можно складывать. Например, было  яблок, потом купили  яблок, и в итоге стало  (Рис. 15).

Рис. 15. Числа, использующиеся в роли количества, можно складывать

Если мы идем по улице и проходим мимо дома номер 11, то мы знаем, что через один дом будет  (Рис. 16). То есть если мы используем число для определения порядка, то оно определяет место в ряду подобных объектов.

Рис. 16. Порядок домов

Вместе с тем мы не складываем номера телефонов. К тому же мы не связываем два номера, которые отличаются только лишь последней цифрой на единицу (Рис. 17). Это же не означает то, что один телефонный номер больше другого, или то, что они находятся где-то рядом.

Рис. 17. Телефонные номера

Более того, наверняка ни у кого нет в телефонной книжке номеров, идущих подряд. Так что в этом случае номера – это просто имена (по-латыни «номер» обозначает «имя»).

Таким образом, мы видим  роли,  применения для чисел (Рис. 18).

Рис. 18. Функции чисел

 

Десятичная система счислений

 

 

Для записи чисел используют разные символы: римские, арабские (Рис. 19).

 

Рис. 19. Запись чисел в различных системах

Привычная нам система записи чисел называется десятичной, т.к. в ней используется десять цифр. Но важно также то, что она является позиционной. Величие изобретения позиционной системы в том, что с ее помощью можно записать абсолютно любое количество элементов во множестве. Как это сделать до , понятно: можно просто использовать по одной цифре – . А потом? Придумали измерять количество группами. Например, двадцать четыре – это два по десять и еще четыре: . И можно еще сильнее сократить эту запись, если использовать следующее сокращение: . На первом месте мы обозначаем десятки, а на втором – единицы. То есть  (Рис. 20).

Рис. 20. Запись чисел в десятичной системе

Так, конечно, было не всегда. Люди записывали числа палочками, узелками, римскими цифрами (Рис. 21).

Рис. 21. Что использовалось для записи чисел

Что неудобного в римской системе? Очень трудно записывать большие числа, да и складывать их очень тяжело (Рис. 22).

Рис. 22. Римские цифры

Итак, используя всего десять привычных нам цифр, мы можем записать абсолютно любое натуральное число, сколь угодно большое (Рис. 23).

Рис. 23. Использование современной системы счисления

А вот с помощью римских цифр совсем непонятно, как записать, например,  (Рис. 24).

Рис. 24. Использование римских цифр

---

Позиционные и непозиционные системы счисления

Почему мы используем десятичную систему счисления, а не римскую, в принципе понятно. С помощью позиционной системы счисления можно легко выполнять операции с числами, да и к тому же небольшого количества цифр хватает, для того чтобы написать абсолютно любое число. Но почему именно десятичная, а не какая-либо другая? Однозначно ответить на этот вопрос нельзя, хотя можно выделить основные причины. Если бы цифр было меньше, то тогда запись чисел стала бы слишком громоздкой. Например, в двоичной системе счисления, где только две цифры  и , число  выглядело бы как . А если бы цифр было слишком много (например, в Древнем Вавилоне использовалась шестидесятеричная система счисления (Рис. 1)), то тогда бы пришлось очень много запоминать – существенно увеличились бы таблицы сложения и умножения.

Рис. 1. Шестидесятеричная система счисления

Конечно, можно предположить, что немаловажную роль сыграло то, что на руках у человека  пальцев и десять цифр можно буквально показывать на пальцах, это существенно упрощает запоминание. Стоит отметить, что алфавит – это тоже своего рода позиционная система счисления. От порядка расположения букв в слове зависит его смысл, например, «кот» или «ток» (Рис. 2).

Рис. 2. Кот и ток

Буквы – это словно цифры, и, используя  буквы, можно написать абсолютно любое слово.

---

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс. М: Мнемозина, 2013.
2. Ерина Т.М. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. Математика 5 класс. М.: Экзамен, 2013.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика 5 класс. М.: Вентана–Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «math-prosto.ru» (Источник)
2. Интернет портал «nkj.ru» (Источник)
3. Интернет портал «yaklass.ru»(Источник)

 

Домашнее задание

1. Приведите пример ситуаций, где число выполняет роль имени.
2. Приведите пример ситуаций, где число указывает количество.
3. Приведите пример ситуаций, где число задает порядок.