Математика

Точка

 

Точкой мы обозначаем объект, когда нам не важен его размер. Например, если нужно на карте большой страны отметить город, то он обозначается точкой (см. рис. 1).

 

Рис. 1. Города на карте

На этом кусочке карты отмечены разные города. Сами города разного размера, имеют разное по количеству население. Но отмечены они одинаковыми точками. Это сделано по той причине, что в данной ситуации не важны размер и население города. Важно только его местоположение. И, разумеется, название.

Давайте отметим две точки на листе (см. рис. 2).

Рис. 2. Точки на листе

Если их рассматривать в увеличительное стекло (см. рис. 3), то, наверное, они будут иметь чуть разные размеры и форму. Но мы хорошо понимаем, что эти различия совсем несущественны.

Рис. 3. Точки под увеличительным стеклом

Важными различиями является то, где они расположены, и названия этих точек. Точки часто имеют названия, чтобы их не путать, и обозначаются заглавными буквами латинского алфавита – , ,  и т.д. (рис. 4).

Рис. 4. Точки, обозначенные буквами  и

Говорят, что точка не имеет размера. Это означает, что не важно, какого размера мы нарисуем точку на листе бумаги. Важно, где она находится.

Один и тот же объект в одной ситуации можно отметить точкой, а в другой – нет. Например, если автомобиль едет из Москвы во Владивосток, то его местоположение вполне можно отметить точкой (см. рис. 5).

Рис. 5. Автомобиль, который можно обозначить точкой

В данном случае размер и форма автомобиля несущественны, потому как расстояние между городами намного больше, чем размеры автомобиля.

Если же необходимо начертить план автостоянки и понять, сколько машин там поместится, то размер становится важен и обозначить автомобиль точкой уже нельзя (см. рис. 6).

Рис. 6. Автомобили, которые нельзя обозначить точками

Итак, подведем итог:

· точки не имеют размера,

· точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,

· обозначить какой-либо объект точкой можно, если размер этого объекта нам не важен (обычно это бывает, когда сам объект намного меньше той области, которую мы рассматриваем: город на карте страны, поезд по дороге из Москвы во Владивосток).

 

Линия

 

 

Кроме точки, на листе мы еще с легкостью можем нарисовать линию. Обычно линию используют в двух случаях. Первый случай, когда нужно отделить одну часть рисунка от другой.

 

На рисунке Пабло Пикассо 1906 года «Бык» (см. рис. 7) мы видим две линии, которые ограничивают реку, являются ее берегами. Сам бык тоже очерчен линиями, и благодаря им мы понимаем, какая область рисунка – это тело быка, а какая нет.

 

Рис. 7. «Бык» Пабло Пикассо (1906)

Итак, чтобы отделить одну область от другой, мы проводим линию. На карте линии используют, чтобы отделить одну страну от другой (см. рис. 8). Они в данном случае называются границами.

 

Рис. 8. Страны на карте отделены линиями

Другой случай, когда мы используем линию, это если необходимо нарисовать след от движения, траекторию какого-нибудь движущегося объекта.

Например, если мы хотим на карте изобразить маршрут нашего автомобиля, который двигался из Москвы во Владивосток, то мы тоже воспользуемся для этого линией (см. рис. 9).

Рис. 9. Маршрут, обозначенный линией

Если рисовать линии разными карандашами, кистями, использовать разный нажим, то будет получаться разная толщина. Но во всех рассмотренных случаях толщина линии была не важна. И тонкая, и толстая линия одинаково хорошо отделяют одну область от другой, как это было с берегами реки на картине, или показывает маршрут автомобиля. Поэтому мы будем считать, что линия не имеет толщины, подразумевая, что она не важна.

 

Обозначение линии

 

 

Обычно линию обозначают одним из двух способов.

 

1 способ

Часто линию обозначают одной строчной буквой латинского или греческого алфавита. Мы видим две линии (см. рис. 10), левая обозначена греческой буквой  (гамма), а правая – латинской буквой .

Рис. 10. Обозначение линий буквами

2 способ

Если на линии отмечено две точки и больше, то ее можно обозначить, последовательно перечислив эти точки. Например: линия  (см. рис. 11).

Рис. 11. Линия, обозначенная буквами

Линия  (см. рис. 12).

Рис. 12. Линия, обозначенная буквами

Линия  (см. рис. 13).

Рис. 13. Линия, обозначенная буквами

Точек нужно назвать столько, чтобы было точно понятно, о какой линии идет речь, но стараться не использовать лишних.

Например, не очень понятно, что такое линия . От точки  до точки  можно добраться разными способами (см. рис. 14).

Рис. 14. Способы обозначения линии

Если же линии обозначить  (см. рис. 15) и  (см. рис. 16), то понятно, о какой линии конкретно идет речь.

Рис. 15. Линия	Рис. 16. Линия

 

Точка и линия. Вывод

 

 

Итак, мы рассмотрели понятие точки и линии. Обсудили, что точка обычно нужна для обозначения местоположения. Точка не имеет размеров. Точка обозначается заглавной буквой латинского алфавита.

 

Линия нужна для отделения одной области от другой или для изображения траектории движения. Линия не имеет толщины. Линия обозначается или одной строчной буквой, или несколькими заглавными, где каждая заглавная буква обозначает точку нашей линии.

 

Точка и линия. Принадлежность точки линии

 

 

Рассмотрим точки  и  и линию  (см. рис. 17).

 

Рис. 17. Линия  и точки  и

Говорят, что точка  принадлежит линии , или линия  проходит через точку . Точка  не принадлежит линии , или линия  не проходит через точку . Таким образом, про конкретные точку и линию можно сказать одно из двух: либо точка принадлежит линии, либо нет.

Сама же линия состоит из бесконечного числа точек. Несомненно, каждая такая точка принадлежит линии. На рис. 18 изображены две линии  и . Они пересекаются в точке . Точка  принадлежит и линии , и линии .

Рис. 18. Линии  и , пересекающиеся в точке

На рис. 19 линии  и  не пересекаются. Эти линии не имеют общих точек, то есть таких точек, которые принадлежат одновременно обеим линиям.

Рис. 19. Линии  и .

 

Заключение

 

 

Итак, на сегодняшнем уроке мы обсудили точку и линию. На следующих уроках мы рассмотрим уже конкретные типы линий – отрезок, прямую и луч.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. 14-е изд., испр. и доп. - М.: 2013. – 270
2. Математика. 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 24-е изд., испр. - М: 2008. - 280с.
3. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч.  Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. 2-е изд., перераб. - М.: 2011; Ч.1 - 176с, Ч.2 - 240с.

 

Домашнее задание

1. Назовите точки, лежащие на отрезке
    (см. рис. 20). Назовите точки, не лежащие на отрезке.
   Рис. 20. Иллюстрация к задаче
2. Найдите длину отрезка , если известно, что длина отрезка  равна 1 см (см. рис. 21).
   
   Рис. 21. Иллюстрация к задаче

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
2. Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
3. Интернет-портал Myshared.ru (Источник).