Математика

Смешанные числа. Сложение и вычитание смешанных чисел.

Разделить поровну 5 одинаковых апельсинов между тремя детьми можно двумя способами.

Во-первых, можно разделить между ними поровну каждый апельсин. Тогда один ребенок получит по 5 частей, а каждая из этих частей равна $\frac{1}{3}$ целого апельсина. Поэтому каждый ребенок получит $\frac{5}{3}$ апельсина.

Во-вторых, можно сначала дать каждому ребенку по целому апельсину, а оставшиеся 2 апельсина разделить между ними поровну. Тогда каждый ребенок получит $1+\frac{2}{3}$ апельсина.

Сумму $1\mathit{+}\frac{2}{3}$ принято записывать короче: $1\frac{2}{3}$. Запись $1\frac{2}{3}$ читают так: «одна целая две третьих».

Число 1 называют целой частью числа $1\frac{2}{3}$, а число $\frac{2}{3}$ – его дробной частью.

Так как в обоих случаях каждый ребенок получает одно и то же количество апельсинов, то числа равны: $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$.

Как перейти от записи числа $\frac{5}{3}$ к записи $1\frac{2}{3}$?

Для этого нужно разделить 5 на 3. Получаем неполное частное 1 и остаток 2. Число 1 дает целую часть, а остаток 2 – числитель дробной части.

Сформулируем правило:

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

1. Разделить с остатком числитель на знаменатель.

2. Неполное частное будет целой частью.

3. Остаток (если он есть) дает числитель, а делитель – знаменатель дробной части.

Пример 1. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{47}{9}$.

Разделим число 47 на 9. Неполное частное 5, а остаток – 2. Значит $\frac{47}{9}=5\frac{2}{9}$.

Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной дробью или смешанным числом.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

1. Умножить его целую часть на знаменатель дробной части.

2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.

3. Записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Пример 2. Представим смешанное число $4\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби.

Решение: $4\frac{2}{3}=4+\frac{2}{3}=\frac{4\bullet 3}{3}+\frac{2}{3}=\frac{12+2}{3}=\frac{14}{3}$.

При сложении (и вычитании) смешанных чисел целые части складывают (вычитают) отдельно, а дробные – отдельно.

Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получается неправильная дробь. В этом случае из нее выделяют целую часть и добавляют ее к уже имеющейся целой части.

Пример 3. $3\frac{7}{9}+2\frac{4}{9}=\left(3+2\right)+\left(\frac{7}{9}+\frac{4}{9}\right)=5+\frac{11}{9}=5+1\frac{2}{9}=6\frac{2}{9}$ .

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:

Пример 4. $6\frac{3}{7}-2\frac{5}{7}=\left(6+\frac{3}{7}\right)-2\frac{5}{7}=\left(5+1+\frac{3}{7}\right)-2\frac{5}{7}=\left(5+\frac{10}{7}\right)-2\frac{5}{7}=5\frac{10}{7}-2\frac{5}{7}=3\frac{5}{7}$.

Обычно пишут короче: $6\frac{3}{7}-2\frac{5}{7}=5\frac{10}{7}-2\frac{5}{7}=3\frac{5}{7}$.

Таким же образом поступают и при вычитании дроби из натурального числа, и при вычитании смешанного числа из натурального числа.

Пример 5. $4-\frac{5}{8}=3\frac{8}{8}-\frac{5}{8}=3\frac{3}{8}$.

Пример 6. $8-3\frac{5}{6}=7\frac{6}{6}-3\frac{5}{6}=4\frac{1}{6}$.