Математика

Приближенные значения чисел. Округление чисел.

Рассмотрим задачу: сколько потребуется автомашин для перевозки 6,5 тонн груза, если одна машина может взять не более 2 тонн?

Три машины перевезут не более 6 тонн, этого не хватит. Четыре машины перевезут до 8 тонн, значит и с 6,5 тоннами они справятся. Ответ – 4, однако он не точный. Нам пришлось искать приближённое значение, потому что количество машин должно быть целым.

Другой пример. Предположим, что в день переписи населения число жителей города равнялось 57328 человек. Но число людей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд, рождение, смерть). Значит, полученное число вскоре станет неверным. В нем определенно изменятся цифры разрядов единиц и десятков, а возможно, и сотен. Поэтому можно сказать, что в городе живет приблизительно 57000 человек. В таких случаях речь идет о приближенном значении числа. Замену точного значения величины близким к нему «круглым числом» в математике мы будем называть округлением.

В каких случаях можно говорить о приближенном значении числа?
– Стыковка космических кораблей. Нужна высокая точность: стыковочный узел на космическом корабле  изготовляют с точностью до миллиметра.
– Изготовление таблеток. Также важна точность: при взвешивании лекарства нельзя округлять даже до грамма.
– Можно ли точно назвать, сколько лет назад жили динозавры? Нет, мы можем назвать очень приблизительные сроки.
– Надо ли точно знать, сколько граммов собрали с поля пшеницы? Никто не считает собранный урожай в граммах или зернах – важны центнеры, тонны.

Возьмем линейку и ручку, измерим длину шариковой ручки линейкой. Длина ручки заключена между 13 см и 14 см. Значит 13 см – приближенное значение длины ручки с недостатком, а 14 см – с избытком. Обозначив длину ручки буквой у, получим 13˂у˂14.

Если а˂х˂b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, число b – приближенным значением х с избытком.

Если длина ручки ближе к 13 см, чем к 14 см, то говорят, что число 13 получилось при округлении числа до целых. Записывают это так: 13,3 ≈ 13. Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

Числа округляют и до других разрядов – десятых, сотен и т.д. Если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 5, 6, 7, 8, 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.

Если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.

Пример 1. Округлим число 86,2759 до десятых.

Решение: Отбрасываем цифры 7, 5 и 9, которые следуют за разрядом десятых. Первая из этих цифр 7, поэтому стоящую перед ней цифру 2 увеличиваем на 1. Получаем 86,3.

Пишут: 86,2759 ≈ 86,3.

Пример 2. Округлим до сотен тысяч число 6723401.

Решение: Заменяем нулями цифры 2, 3, 4 и 1, следующие за разрядом сотен тысяч. Так как первая из них 2, то стоящую перед ней цифру 7 оставляем без изменений. Получаем число 6 700 000.

Пишут: 6723401 ≈ 6700000 = 6,7 млн.