Математика

Введение. Представление числа

 

Посмотрите, это две книги или одна? (Рис. 1) Книга одна, формы разные. В одних случаях удобна одна форма, в других другая.

 

Рис. 1. Одна и та же книга в разных формах

Сегодня мы будем говорить об эквивалентных обозначениях одного и того же количества.

Вот два мешка (Рис. 2). В одном  пуда зерна, в другом  кг. Это одно и то же количество, обозначения разные.

Рис. 2. Два мешка с одинаковой массой

Добавим в каждый мешок по  кг (Рис. 3). В первом мешке у нас  пуда и  кг. Во втором –  кг.

Рис. 3. Добавили 3 кг

Какая запись проще? Понятно, вторая.

Представлять нецелые числа удобнее с помощью дробей. Одно и то же нецелое количество можно обозначить разными дробями. Так, половину торта мы можем получить, разделив торт на две части и взяв из них одну , а можно разделить на  частей и взять три .  и  являются эквивалентными дробями:  (Рис. 4).

Рис. 4. Эквивалентные дроби

Пусть теперь нам нужно сложить  торта и  торта (Рис. 5).

Рис. 5. Нужно сложить  торта и  торта

В таком виде нам это сделать не удается (это все равно как складывать пуды и килограммы). Мы можем складывать одинаковые части, например, шестые. Заменим  эквивалентной дробью  (Рис. 6).

Рис. 6. Замена  эквивалентной дробью

Теперь мы складываем дроби с одинаковым знаменателем:  (Рис. 7).

Рис. 7. Сумма дробей

 

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

 

 

Пример 1

 

Вычислите: .

Решение

Выпишем для каждой дроби несколько эквивалентных и выберем те, что имеют одинаковые знаменатели:

Теперь легко выполнять вычисления, заменив исходные дроби эквивалентными:

Сама процедура замены дробей эквивалентными, но уже с одинаковыми знаменателями так и называется «приведение дробей к общему знаменателю».

Итак, чтобы сравнить две дроби, сложить или вычесть одну из другой, мы приводим их к общему знаменателю.

 

Как привести дроби к общему знаменателю. Количество общих знаменателей для двух дробей

 

 

Способ 1.

 

Первый способ мы уже рассмотрели в наших рассуждениях. Для каждой дроби начинаем выписывать эквивалентные дроби, умножая числитель и знаменатель на , ,  и т.д. Потом выбираем те, которые имеют общие знаменатели.

Пример. Выполнить сложение: .

Решение

Сначала запишем цепочку эквивалентных дробей для , для этого числитель и знаменатель дроби домножим на , ,  и т.д.

То же самое проделаем для дроби .

Как видим, есть совпадение знаменателей ( и ). Заменяем теперь исходные дроби эквивалентными и выполняем вычисления: .

Способ 2.

В качестве общего знаменателя можно также использовать произведение знаменателей исходных дробей.

Пример

Вычтите .

Решение

Приведем дроби  и  к знаменателю . Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на , а второй – на . Не торопитесь выполнять умножение в знаменателе, это мы сделаем в самом конце.

Точно так же, как мы умножали числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, мы можем и поделить их на одно и то же число. Такая процедура называется сокращением. В нашем примере числитель и знаменатель делятся на , выполним деление:

Сократить дробь – означает разделить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, не равное .

 

Давайте теперь подумаем, сколько существует общих знаменателей для двух дробей.

Какой общий знаменатель у дробей  и ?

Выпишем цепочку эквивалентных дробей для  и : 

Мы видим несколько пар дробей с одинаковыми знаменателями ( и ,  и ,  и ). Если мы продолжим дальше цепочки эквивалентных дробей, то получим бесконечное множество таких совпадений знаменателей.

То есть общих знаменателей бесконечно много. Нам подходит любой.

Например, произведение знаменателей исходных дробей  – это общий знаменатель, однако, не самый меньший.

 

Приведение дробей к общему знаменателю двумя способами

 

 

Найти значение выражения: .

 

1 способ

Воспользуемся нашим правилом: произведение знаменателей является общим знаменателем дробей. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на , а второй – на . Не торопимся выполнять умножение в знаменателе, нам легче будет сокращать.

Как мы видим, числа  и  заканчиваются на , а значит, делятся на , то есть мы можем сократить дробь.

Также заметим, что числитель и знаменатель делятся на , и сократим дробь:

2 способ

Выпишем цепочки эквивалентных дробей для  и .

Уже на этом этапе имеется совпадение знаменателей. Заменим дроби им эквивалентными:

Как видите, второй способ дал нам ответ быстрее, чем первый.

То есть сложить эти две дроби можно по-разному: способом произведения знаменателей или можно сразу было заметить, что есть общий знаменатель поменьше, а именно .

То есть мораль следующая:

• общих знаменателей у двух дробей бесконечное число,
• метод произведения знаменателей дает один из них, но не обязательно наименьший.

 

Наименьший общий знаменатель

 

 

Есть ли способ отыскания наименьшего общего знаменателя? Да, такой способ существует.

 

Пример 1. Вычислите значение выражения: .

Решение

Будем следовать рассмотренному алгоритму и выпишем цепочки эквивалентных дробей:

Можем ли мы как-то упростить наш алгоритм? Да, можем. Цепочка с бОльшим знаменателем короче, поэтому с ней и будем работать. Возьмем бОльший знаменатель и будем складывать его самого с собой (таким образом, мы не пропустим число ), проверяя на каждом шаге, делится ли число на меньший знаменатель ().

 не делится на , значит, не будет являться общим знаменателем для исходных дробей.

 снова не делится на . Продолжаем прибавлять .

 делится на , .

Итак, мы проверяли все числа, которые делятся на , и дошли до первого, которое еще делится и на  тоже.

Таким образом, общий знаменатель – .

Этот метод легко использовать при устных вычислениях.

Пример 2

Вычислите значение выражения: .

Решение

Берем бОльший знаменатель () и складываем его с самим собой до тех пор, пока результат не будет делиться на меньший знаменатель ().

 не делится на .

 не делится на .

 делится на  (), значит,  – общий знаменатель.

Приведем обе дроби к знаменателю , для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на , а второй – на .

 

Примеры

 

 

Если знаменатель окажутся более громоздким, то такой способ будет затруднительно применять.

 

Пример 1

Вычислите значение выражения: .

Решение

Знаменатели большие, складывать сам собой больший знаменатель или использовать произведение знаменателей тяжело.

Что же можно сделать? Помним что, чтобы число  делилось на , оно должно содержать множитель . При этом само число раскладывается на множители.

Значит, все множители числа  содержатся и в числе . То же самое относится и к числу .

Нам нужно найти такое число, которое содержит все множители числа  и числа . Разложим каждое на множители:

Сконструируем необходимое число, содержащее все множители и первого, и второго чисел: .

Не один из множителей убрать нельзя – это и есть наименьшее число, которое одновременно делиться на  и на . Это наименьший общий знаменатель. Разложение на простые множители не только позволяет найти наименьший общий знаменатель, но и подсказывает, на какой множитель необходимо домножить каждую дробь. Так, в первом знаменателе до общего знаменателя не хватает множителя , а во втором – .

Пример 2

Вычислите значение выражения:

Решение

Раскладываем каждый знаменатель на множители.

Общий знаменатель:

 

---

Ответвление «Пример»

Вычтите:

Решение

Сначала разложим каждый знаменатель на множители:

Конструируем наименьший общий знаменатель, он должен содержать все множители каждого знаменателя: .

Значит, у первого знаменателя не хватает множителей  и , а у второго –  и .

 

Заключение

 

 

Итак, подведем итог.

 

Чтобы сравнить, сложить, вычесть из одной дроби другую, нужно привести их общему знаменателю.

Этот процесс раскладывается на два этапа:

1. найти общий знаменатель,
2. привести к этому общему знаменателю.

Общий знаменатель – это такое число, которое можно получить из исходных знаменателей домножением на какое-нибудь число.

Существует несколько приемов нахождения общего знаменателя. Использовать можно любой, в зависимости от ситуации.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013 – 288 с.: илл.
2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс – М.: Мнемозина.
3. Истомина И.Б. Математика, 6 класс – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. School-assistant.ru (Источник).
2. Cleverstudents.ru (Источник).
3. Onlinemschool.com (Источник).

 

Домашнее задание

• Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 43-44 чит., ст. 45 № 278, 279.
• Какие существуют способы приведения дробей к общему знаменателю?
• Выполните вычисления удобным для вас способом:

а)                           б)

• ^* Проверьте, правильно ли выполнены вычисления:

а)                б)