Математика

47. Приведение дробей к общему знаменателю

Можно ли сравнить дроби $\frac{3}{4}$и $\frac{2}{4}$? $\frac{2}{7}$ и$\frac{3}{8}$?

Первые две дроби имеют одинаковый знаменатель, значит можно их сравнить: $\frac{3}{4}>\frac{2}{4}$. Дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{3}{8}$ имеют разные знаменатели, поэтому также сравнить не получится. Если умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ на одно и тоже число 2, то получим равную ей дробь $\frac{6}{8}$.

В этом случае говорят, что мы привели дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 8.

Таким образом, дробь можно привести к любому знаменателю.

Дополнительным множителем называют число, на которое надо умножить знаменатель дроби.

Если привести дроби к новому знаменателю, то ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

Пример 1. Приведем дробь $\frac{2}{7}$ к знаменателю 35.

Число 35 кратно 7, так как 35:7 = 5.

Дополнительным множителем является число 5.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 5, получим:

$\frac{2}{7}=\frac{2\bullet 5}{7\bullet 5}=\frac{10}{35}$.

Любые две дроби можно привести к общему знаменателю.

Например, $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$ и $\frac{4}{5}=\frac{12}{15}$.

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Пример 2. Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$.

Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 12. Чтобы получить в знаменателе 12, числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ умножаем на 3, а числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{6}$ умножаем на 2.

Значит, $\frac{3\bullet 3}{4\bullet 3}=\frac{9}{12}$; $\frac{5\bullet 2}{6\bullet 2}=\frac{10}{12}$.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1. Найти наименьший общий знаменатель этих дробей.
2. Разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей таким образом, найти для каждой дроби дополнительный множитель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

В других случаях дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

Пример 3. Приведем дроби $\frac{11}{60}$ и $\frac{31}{168}$ к наименьшему общему знаменателю.

Разложим знаменатели данных дробей на простые множители: 60 = 2·2·3·5, 168 = 2·2·2·3·7.

Найдем НОК, которое и будет наименьшим общим знаменателем: 2·2·2·3·5·7 = 840.

Для дроби $\frac{11}{60}$ дополнительным множителем является 14. Получим $\frac{154}{840}$.

Для дроби $\frac{31}{168}$дополнительным множителем является 5. Получим $\frac{155}{840}$.