Математика

46. Сокращение дробей

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{15}{20}$ разделить на 5, то получится равная ей дробь $\frac{3}{4}$, т.е. $\frac{15}{20}$ = $\frac{3}{4}$.

Сокращением дроби называют деление числителя и знаменателя на их общий делитель, не равный единице.

Пример 1. Сократим дробь $\frac{18}{27}$ на 3, т.е. числитель и знаменатель разделим на 3, а потом еще раз на 3.

$\frac{18}{27}=\frac{18:3}{27:3}=\frac{6}{9}=\frac{6:3}{9:3}=\frac{2}{3}$.

Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами, т.е. имеют только один общий делитель – единицу.

Например, дробь $\frac{3}{4}$ сократить нельзя, так как числа 3 и 4 взаимно простые.

Наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя это наибольшее число, на которое можно сократить дробь.

Пример 2. наибольшим общим делителем чисел 16 и 24 является 8. Значит, дробь $\frac{16}{24}$ можно сократить на 8 (числитель и знаменатель этой дроби разделим на 8).

$\frac{16}{24}=\frac{16:8}{24:8}=\frac{2}{3}$.

Пример 3. Такой же ответ можно получить, если сокращать дробь $\frac{150}{225}$ последовательно на общие делители чисел 150 и 225, применяя для их нахождения признаки делимости:

$\frac{150}{225}=\frac{50}{75}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$.

Удобно при сокращении дроби разложить числитель и знаменатель на несколько множителей, а потом сокращать.

Пример 4. $\frac{135}{180}=\frac{3*3*3*5}{2*2*3*3*5}=\frac{3}{2\bullet 2}=\frac{3}{4}$.

Пример 5. $\frac{210}{1540}=\frac{\mathbf{2}\mathit{*}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{*}\mathbf{5}\mathbf{*}\mathbf{7}}{\mathbf{2}\mathbf{*}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{*}\mathbf{5}\mathbf{*}\mathbf{7}\mathbf{*}\mathbf{11}}=\frac{3}{22}$.