Математика

Введение

 

Увидев очень высокого человека, мы можем предположить, что он баскетболист. Глядя на очень большой камень, мы поймем, что нам не удастся его поднять, он слишком тяжелый. Глядя на число , мы понимаем, что оно делится на .

 

Во всех этих примерах мы не проверяли, а делали вывод на основе внешних признаков.

Причем в первых двух случаях мы могли ошибиться, но про число  мы знаем точно. Последняя цифра делится на , значит, и все число делится. Просто в математике есть точные признаки делимости на разные числа. Легко понять, что  делится на  или что  делится на .

Но, оказывается, можно быстро понять, делится ли на  числа:  и . Первое делится, а второе – нет. Просто сумма цифр первого числа делится на , а у второго – нет. Это и указывает, делится ли само число на .

Признаки делимости на разные числа устроены по-разному, но есть похожие, одного типа.

Сегодня мы начнем с признаков делимости на  и . Они устроены одинаково – смотрим на последнюю цифру и понимаем, делится число или нет.

 

Признаки делимости

 

 

Начнем с самого главного вопроса: что значит «одно число делится на другое»? Например, что значит, что число  делится на ? Это означает, что число  можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, и одно из них будет : .

 

 содержит еще и множитель , это означает, что  делится и на  тоже.

Тот факт, что  делится на  (), мы можем представить так, что  содержит множитель : .

Второй множитель , это результат деления  на .

 

Основная теорема арифметики

 

 

Разложим на множители . Получили эквивалентную запись числа .
Видим, что число  также раскладывается на множители, получим ещё одну эквивалентную запись: .
Продолжим до тех пор, пока можем раскладывать на множители: .
Полученные числа разложить на множители уже не получается: они не делятся ни на одно число, кроме  и себя. Такие числа называются простыми. Остальные числа (например, , , ) называются составными.  считается единственным числом, которое не является ни простым, ни составным.

 

Понятно, что, используя наш алгоритм (представляя любой составной множитель в виде произведения), для любого числа рано или поздно можно получить его эквивалентное представление в виде произведения простых множителей.
Но мы могли пойти по-другому пути: .
Как видим, получилось то же эквивалентное представление (с точностью до порядка). Всегда ли так будет? Оказывается, да. Можно доказать, что любое число единственным образом представляется в виде произведения простых множителей. Этот результат называется основной теоремой арифметики.
Получается, что, как бы мы ни раскладывали число на простые множители, в итоге мы получим одно и то же разложение (с точностью до порядка).

 

Деление нуля и деление на нуль

 

 

Когда  делится на ? Тогда и только тогда, когда  содержит  как сомножитель.
Например,  можно записать в виде  и оно делится на каждый свой сомножитель.
Представим  в виде произведения: . Ноль содержит сомножителем любое число. Любое! следовательно, ноль делится на любое число.
Противоположный вопрос: что с делением на ? Получится ли какое-то число поделить на ?

 

Если бы некоторое число  можно было поделить на , то был бы какой-то ответ . Но тогда, вспомнив о том, что деление – операция, обратная умножению, можно записать, что  Получаем, что , но ведь  было выбрано произвольно. Таким образом, мы пришли к противоречию. То есть определить деление на  согласованно с определением умножения не получается.

На самом деле без деления на ноль можно обойтись, поэтому данная операция нам не нужна.

Таким образом, ноль можно делить на любое число, не равное нулю, и получать ноль. При этом никакое число на ноль делить нельзя.

 

Делимость чисел, оканчивающихся на 0

 

 

Теперь рассмотрим числа, которые оканчиваются нулем. Если число оканчивается нулем, то в его разложение на множители входит множитель .

 

Например, . Мы знаем, что  мы можем представить как , тогда . Мы получили, что «в разложении содержится множитель » и «в разложении содержатся множители  и » эквивалентны. Таким образом, можем утверждать, что если число оканчивается нулем, то оно делится на , на  и на .

 

Делимость суммы

 

 

Рассмотрим два равенства:

 

В первом равенстве слагаемое  делится на , слагаемое  не делится на  – и сумма  не делится на .

Во втором равенстве слагаемые  и  делятся на  – и сумма  также делится на .

Таким образом, мы получаем правило: если каждое из слагаемых делится на заданное число, то и сумма тоже делится на это число.

Если одно из слагаемых делится на заданное число, а второе – нет, то сумма не делится на это число.

 

Общий признак делимости суммы

 

 

На самом деле правило даже интереснее.

 

1) Если у нас много слагаемых и все делятся на одно число, то и сумма делится:

Пример:  делится на .

2) Если все слагаемые делятся, а одно – нет, то и сумма не делится:

Пример:  не делится на .

3) Если не делятся два или больше слагаемых, то результат может быть различным:

Пример:

В обоих примерах два слагаемых не делятся на . Но сама сумма в первом случае делится, а во втором нет.

То есть если два или больше слагаемых не делятся на одно и то же число, то сумма может делиться на это число, а может и нет.

 

Пример

 

 

Возьмем очень большое число, например, .

 

Постараемся определить, на какие числа оно делится.

Представим наше число в виде суммы:

Первое слагаемое оканчивается нулем, а значит, оно делится на , на  и на .

Второе слагаемое  не делится на  (а первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма не делится на .

Второе слагаемое  не делится на  (а первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма не делится на .

Второе слагаемое  делится на  (и первое делится), а значит, согласно правилу, и сумма делится на 2.

 

Теорема (признак делимости на 2, 5 и 10)

 

 

Итак, вот основной итог нашего урока, теорема: число делится на , на  или , тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на , на  или на  соответственно.

 

Доказательство: пусть задано число . Представим его в виде суммы двух слагаемых: .

Слагаемое  оканчивается нулем, а значит, делится на , на , на . Но тогда делимость на ,  и  всей суммы зависит от второго слагаемого, которое является последней цифрой нашего числа.

Таким образом, если последняя цифра числа делится на ,  или , то и все число делится на ,  или  соответственно.

Теорема доказана.

 

Примеры

 

 

Определить, делится ли число на 

 

1) 

Так как число оканчивается нулем, то оно делится на ,  и .

2) 12687

Данное число оканчивается .  не делится ни на , ни на , ни на , а значит, и число  на них не делится.

3) 

Данное число оканчивается .  делится на , но не делится на , ни на , значит, число  делится на , но не делится на  и на .

4) 

Последняя цифра .  делится на , но не делится на  и , значит,  делится на , но не делится на  и .

5) 

Число оканчивается нулем, а значит, оно делится на ,  и .

 

Заключение

 

 

Обратите внимание: по последней цифре мы можем судить только о делимости на  на  и на . Для делимости на другие числа нельзя использовать этот признак.

 

Например, число  не делится на , хотя последняя цифра числа на  делится.

Или  не делится , хотя последняя цифра числа на  делится.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 288 с.: илл.
2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: Мнемозина.
3. Истомина И.Б. Математика, 6 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Elhow.ru (Источник).
2. Bymath.net (Источник).
3. Onlinemschool.com (Источник).

 

Домашнее задание

• Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 9-10 чит., ст. 10 № 32, ст. 11 № 36.
• Назовите признаки делимости чисел на 2, на 5 и на 10.
• Среди приведенных чисел, укажите те, что делятся и на 2, и на 5, и на 10.

а) 13                           в) 129                         д) 720                         е) 12398050

б) 100                         г) 130                         э) 945                         ё) 53846030

• ^*Дайте ответы на вопросы:

а) Какое наименьшее пятизначное число кратно пяти?

б) Какое наибольшее трёхзначное число кратно двум?

в) Укажите семь чисел, которые делятся на десять.