Математика

Введение

 

Признак позволяет нам по первому взгляду понять что-то про объект.

 

Есть пословица: «Дыма без огня не бывает». То есть дым – это признак огня. На самом деле этот признак не всегда работает. Что-то может тлеть и дымить, а огня не будет.

В математике признаки действуют всегда. К таким относятся признаки делимости.

Мы уже знаем признак делимости на 2, 5 и 10.

Это признак по последней цифре. Если последняя цифра делится на это число, то и все число тоже делится.

756 делится на 2, не делится на 5 и 10.

На этом уроке мы рассмотрим делимость на 3 и на 9.

 

Признак делимости на 3 и на 9

 

 

18 делится на 9, 81 тоже делится.

 

27 делится на 9, 72 тоже делится.

45 делится на 3, 54 тоже делится на 3.

Похоже, не важно в каком порядке идут цифры.

Можете сами проверить: если в числах, которые делятся на 3 или 9, переставлять местами цифры, новые числа снова будут делиться.

Дело в том, что все зависит от суммы цифр, а не от порядка, в котором они идут.

Признак делимости на 3 и на 9 звучит так:

Если сумма цифр числа делится на 9 или на 3, то и само число тоже делится на 3 или на 9.

Понятно, что если переставить цифры местами, то сумма цифр не изменится.

Выясним, как получается этот признак.

 

Признак делимости на 3

 

 

Как увидеть, что число 72 делится на 3?

 

Например, так:

. 60 делится на 3 и 12 делится на 3, значит, и все число делится на 3.

Это правило очень полезное, и мы его часто используем.

Если в сумме оба слагаемых делятся на некое число, то вся сумма делится на это число.

Если одно делится, а другое нет, то и вся сумма не делится.

Вернемся к числу 72.

Разложение на 60 и 12 удобно, но не дает нам общего правила, алгоритма, как действовать с другими числами.

Вспомним, что обозначает десятичная запись числа.

Первое слагаемое делится на 3.

 тоже делится на 3. Но это и есть сумма цифр. Если бы она не делилась, то и все число не делилось бы.

Например, разделим число 73 на 3.

И этот алгоритм можно применить к любому числу.

 

Задача 1

 

 

Возьмем число побольше, 2382, и попробуем понять, делится ли оно на 3 и на 9.

 

Шаг первый

Вспомним, что означает десятичная запись числа, и запишем число в эквивалентной форме:

Распишем каждое разрядное число:

Раскроем скобки:

Сгруппируем слагаемые:

Получили две суммы.

Шаг второй

Используем свойство делимости суммы: если оба слагаемых делятся, то сумма делится, если одно делится, другое нет, то сумма не делится.

У нас в первых скобках каждое слагаемое делится на 3 и на 9, значит, и вся сумма делится на 3 и на 9.

Таким образом, делимость всего нашего числа зависит теперь от последней суммы. Если она делится на 3 или 9, то и все число делится, если нет, то и все число нет.

Но во вторых скобках и есть сумма цифр исходного числа.

То есть число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или на 9.

Проверим делимость в нашем случае:

 делится на 3, но не делится на 9.

Ответ: 2382 делится на 3, но не делится на 9.

 

Есть удобный инструмент – теория сравнений.

С помощью него объяснение признака делимости на 3 и на 9 очень короткое. О нем рассказывается в конце урока.

 

Задание

 

 

Потренируемся.

 

Самостоятельно определите, делится ли число на 3 и на 9.

1. 487 932

2. 7 549 358

3. 723 644 118 765

Проверяем:

1. 487 932

, значит, число делится на 3.

, значит, число не делится на 9.

2. 7 549 358

, значит, число не делится на 3.

, значит, число не делится на 9.

3. 723 644 118 765

Не обязательно складывать все цифры. Можно упростить себе задачу. Если какая-то часть в сумме уже делится, то ее можно откинуть и больше не учитывать.

Число делится на 9 и на 3.

 

Применение нескольких признаков деления

 

 

Посмотрим на применение сразу двух признаков: по последней цифре и по сумме цифр.

 

1. Делится ли число 12 348 на 6?

Чтобы делиться на 6, нужно делиться на 2 и на 3.

Число делится на 2, так как последняя цифра делится: .

Число делится на 3, так как сумма цифр делится на 3: .

Так как исходное число делится и на 2, и на 3, значит, оно делится и на 6.

2. Делится ли число 4525 на 15?

Число делится на 5, последняя цифра делится на 5:

 делится, – не делится.

Число не делится на 3, значит, не делится и на 15.

 

Этот метод не получится применить, если мы проверяем делимость на число, где есть повторяющиеся множители.

 

Пример 1

 

 

Делится ли 102 на 4?

 

102 делится на каждый простой множитель 4-х, на 2 и на 2, но на 4 все-таки нет.

Нельзя применять признак делимости несколько раз, если делитель разложен на одинаковые множители.

То есть если множители внутри числа не повторяются:

 или , то можно использовать два признака по очереди. Если повторяются, например  или , то нельзя.

 

Вопросы

 

 

Самостоятельно ответьте на следующие вопросы.

 

Если мы знаем, делится или нет число на 9, нужно ли проверять, делится на 3 или нет?

Наоборот, если мы знаем, что число делится или не делится на 3, что можно сказать про делимость на 9?

---

Теория сравнений и признак делимости на 3 и 9

Выбираем число, например 3. Будем называть его модулем.

Два числа считаем одинаковыми, если они дают одинаковый остаток при делении на 3.

Например, ,

Такие числа будем называть сравнимыми по модулю 3.

,

,

Очевидно, все разрядные числа сравнимы с единицей по модулям 3 и 9.

,

,

,

,

,

,

Доказательство признака делимости на 3 и на 9

Рассмотрим число.

Все разрядные числа можно заменить на единицы, если сравнивать по модулям 3 и 9.

То есть любое число и число, полученное как сумма его цифр, сравнимы по модулям 3 и 9. Значит, они делятся или не делятся на них одновременно.

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989. 

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011. 

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт "Математика онлайн" (Источник)

2. Интернет-сайт "Школьный помощник" (Источник)

3. Интернет-сайт math-prosto.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 64

2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 86

3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 92