Математика

Необходимость умения раскладывать числа на множители

 

При изучении свойств чисел перед нами стоит множество важных задач. Одна из них – находить делители данного нам числа. Такое умение нужно и на практике. Например, нам надо составить групповой этап футбольной Лиги чемпионов, в которой проходит 32 команды. Разбить их на 8 групп по 4 команды мы можем, так как 32 делится и на 8, и на 4. А разбить их на 5 групп или на 6 мы не можем, так как 32 не делится ни на 5, ни на 6. То есть понимать свойства числа, находить его делители или их количество – это очень важная математическая задача, которая используется на практике. И для этого служит разложение на множители.

 

 

 

Пример 1. Разложение числа 324 на простые множители

 

 

Пример 1. Разложение числа 324 на простые множители.

 

Разложим число 324 на множители. Очевидно, что оно делится на 2.

Тогда

Теперь разложим число 162 на множители:

Разложение числа 324 окончено, так как все числа из разложения простые.

Вспомним, что простое число – число, которое имеет ровно 2 делителя – себя и 1.

Замечание! В разложении числа на множители множитель 1 принято не писать.

 

Пример 2. (Другой вариант записи) Разложение числа 2430 на простые множители

 

 

Пример 2. Разложение числа 2430 на простые множители.

 

На что делится число 2430? Очевидно, что на 2.

В первой строке в левом столбце записываем исходное число. В первой строке записываем делитель, в данном случае – 2.

Далее во второй строке в левом столбце записываем результат деления, то есть .

1215 делится, очевидно, на 5. Записываем делитель 5 в правом столбце сбоку от числа 1215. Результат деления 243. И так далее.

Обратите внимание, что делить необходимо сразу на простые числа.

Когда в левом столбце получена 1, процесс заканчивается. Результатом разложения будут все простые числа из правого столбца.

Принято записывать разложение от меньшего числа к большему.

При разложении чисел на множители пользуемся признаками делимости.

 

Пример 3. Разложение числа 1225 на простые множители

 

 

Пример 3. Разложение числа 1225 на простые множители.

 

По признаку делимости число 1225 делится на 5. Делится ли оно на 2? Нет, так как число нечетное. А на 3? Нет, так как сумма цифр равна 10, а 10 не делится на 3.

Возникают вопросы: для каждого ли числа найдется такое разложение на множители? Единственное ли это разложение?

Ответим на эти вопросы.

Во-первых, для каждого числа существует разложение на простые множители.

Во-вторых, разложение единственно, если в нем только простые множители.

Например, число

или

или

Поэтому разложений может быть несколько, но разложение на простые множители единственно. Об этом нам говорит основная теорема арифметики.

Рассмотрим разложение простого числа, например, 13.

 

Пример 4. Разложение числа 45630 на простые множители

 

 

Пример 4. Разложение числа 45630 на простые множители

 

Теперь рассмотрим разложение числа 45630.

Обычно проверяют первые несколько простых чисел, а именно: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Очевидно, что 45630 делится на 2. Получаем 22815, это число делится на 5.

Число 4563 делится на 3.

Продолжаем деление на 3. Получаем 507 – это число также делится на 3. Результат 169.

Число 169 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, поэтому проверим, делится ли 169 на числа после 5. Заметим, что 169 нечётное, значит, деление на четные числа проверять не нужно, т. е. проверим деление на 7. Получаем при делении остаток. Деление на 9 проверять не нужно, т. к. если 169 не делится на 3, то оно не делится на 9. Проверим 11, 169 не делится нацело на 11. Проверяем число 13.

Итак,

Заключение

Мы познакомились с понятием разложения числа на множители, научились раскладывать разные числа на множители, пользуясь признаками делимости. Выяснили, что разложение на множители бывает до простых множителей, или, по-другому, каноническое разложение на множители, и это разложение всегда существует и причем единственно.

У разложения чисел на множители есть важная цель. В дальнейшем вы будете заниматься дробями. Вам понадобится выполнять сложение, вычитание, умножение, сокращение дробей. И вы увидите, что без разложения на множители эти действия выполнить невозможно.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 класс.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Учебник Н.Я. Виленкина (Источник)
2. Разложение числа на множители (Источник)

Домашнее задание

1. Разложите на простые множители числа: 72, 300, 420, 243.
2. Какие простые числа являются решением неравенства ?
3. Разложите на простые множители числа: 1260, 1365, 1485, 867.