Математика

Введение

 

Давайте разберемся, что означает понятие «наибольший общий делитель».

 

Попробуем объяснить в не строгой форме.

Допустим у нас есть два числа, у этих двух чисел есть число, на которое они оба делятся. Максимально большое такое число и есть наибольшим общим делителем. Т.е. наибольший общий делитель – наибольшее число, на которое можно разделить несколько чисел без остатка. Строгое определение мы рассмотрим чуть позже.

Сейчас рассмотрим пример, который иллюстрирует данную идею:

 

Задача 1

 

 

У нас есть 48 шоколадок, и 36 конфет. Мы хотим из этого набора составить некоторые комплекты, которые мы подарим детям на Новый Год. Какое наибольшее количество комплектов мы можем сделать так, чтобы всем детям досталось поровну?

 

Решение:

Чтобы поделить шоколадки и конфеты поровну нам нужно разделить и шоколадки и кофеты нацело на количество подарков. Например, если поделить их на два подарка, то в каждом подарке будет по 24 шоколадки, и 18 конфет. То есть количество шоколадок или конфет нужно поделить на количество подарков, и оно будет делителем количества шоколадок или конфет.

Давайте найдем наибольший общий делитель чисел 48 и 36.

Выпишем все делители для обоих чисел:48:

• 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

 Давайте выделим из них общие делители:

 

• 1, 2, 3, 4, 6, 12

 Наибольший из общих делителей – 12.

Значит, мы можем сделать 12 подарков, и не сложно посчитать, что в каждом из них будет по 4 шоколадки, и по 3 конфеты.

Ответ: 12 комплектов.

Давайте дадим точное определение наибольшему общему делителю.

 

Определение наибольшего общего делителя

 

 

Наибольший общий делитель(НОД)двух и более натуральных чисел – это наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел.

 

Есть два числа ,  их наибольший делитель будет записан так:

.

Например, .

Числа в скобках написаны через точку с запятой, чтобы не путать числа с десятичной дробью.

Существует еще такая форма записи НОД:

Но чаще используют первый вариант.

 

Свойства НОД

 

 

Давайте подумаем в каких границах может находиться НОД двух чисел.

 

Первое свойство.

У любых двух чисел есть хотя бы один общий делитель, и это число 1.

И здесь мы введем понятие взаимно простых чисел.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Что это значит? Это значит, что на самом деле у них нет других общих делителей, кроме единицы. Какие примеры взаимно простых чисел мы можем привести?

Например, числа 2 и 3, которые мы рассматривали выше. Числа 3 и 7 также взаимно простые.

Очень важно не путать понятия взаимно простых чисел, и простых чисел.

Из того что числа взаимно простые еще не следует, что они простые.

Например, . Тем не менее ни 9, ни 10 не являются простыми числами, но они взаимно простые.

Второе свойство.

Как вы думаете, если даны два числа  и , причем  нацело делится на  (), чему тогда равен ?

 – такое наибольшее число, на которое делятся и , и . Логично, что наибольшее число, на которое делится  – , а  – по условию.

Значит, .

Например, ;

Аналогично ;

, потому что  и больше 1 результат быть не может.

Теперь давайте найдем удобный способ нахождения НОД.

 

Задача 2

 

 

В первом примере мы просто выписывали все числа, но такой способ не особо удобен при рассмотрении больших чисел. Давайте рассмотрим метод разложения на множители.

 

Рассмотрим все те же числа 36 и 48:

•  – это т.н. «каноническое разложение» числа 36;
• 

Давайте выделим общие множители столько раз, сколько они встречаются в результате разложения каждого числа: 2 ,2 ,3.

При перемножении этих чисел мы и получим НОД.

Ответ: 12.

Давайте рассмотрим другой пример.

 

Задача 3

 

 

Возьмем числа 25 и 40. Найдем НОД.

 

• 
• 

;

Ответ: 5.

Между прочим, если мы будем искать НОД трех чисел, то это делается без труда по такому же методу.

Давайте попробуем на примере.

 

Задача 4

 

 

 

 

Найти .

• 
• 
• 

Ответ: 4;

Итак, мы с вами научились вычислять НОД двух чисел и трех чисел.

Давайте теперь рассмотрим еще несколько свойств НОД.

 

Свойства НОД (продолжение)

 

 

• ;

 

Вспомним, что такое простые числа. Простое число – это число, которое имеет ровно два натуральных делителя – единицу и себя.

• ; ,  – различные простые числа, следовательно эти числа – взаимно простые;
• ; т.е. последовательные числа также взаимно простые

Мы с вами научились считать НОД двух чисел, научились считать НОД трех чисел, ввели некоторые свойства, по которым мы сможем быстро считать НОД в некоторых случаях. Но у нас могут возникнуть проблемы с разложением на множители.

Если взять числа больше, например, 143 и 257, разложение на множители уже не так очевидно, как в случае с 16 и 36, поэтому нужно найти универсальный метод, который бы работал для любых чисел, даже если разложение на множители затруднено. И такой универсальный метод есть. Он называется алгоритм Евклида. Этому алгоритму уже более двух тысяч лет, и тем не менее он радует глаз математиков и по сей день.

 

Алгоритм Евклида

 

 

Найдем .

 

Идея алгоритма в следующем: заменяем большее из чисел их разностью.

 при этом НОД не меняется.

Алгоритм Евклида с вычитанием заключается в последовательной замене наибольшего числа из двух данных чисел, для которых вычисляется НОД, разностью этих чисел.

Продолжим

Можно продолжать и дальше, но тут ответ уже очевиден

, т.к. .

Ответ 11.

Мы можем использовать этот алгоритм и для тех чисел, которые мы уже разобрали.

, т.к.

К сожалению, для трех чисел этот алгоритм настолько легко не работает. С другой стороны, у этого алгоритма есть несколько улучшений, есть алгоритм Евклида не с вычитанием, а с делением, поэтому если вам интересно, обязательно спросите у своего учителя, в чем он заключается и возможно вы сами сможете использовать этот более сильный метод.

Давайте не углубляясь разберемся, откуда же берется сама идея алгоритма с вычитанием. Наверняка вы знаете свойство делимости, что если два числа делятся на третье, то и сумма или разность двух чисел также делится на это третье, если  и , то . Это свойство мы здесь и используем.

 

Заключение

 

 

Сегодня мы с вами познакомились с новым понятием - наибольший общий делитель, определили его, обсудили его свойства и рассмотрели несколько способов вычисления НОД. Первый – выписать делители и найти из них наибольший. Второй – разложить на множители и выбрать сомножитель, являющийся общим, этот способ, как мы помним, работает для трех и более чисел. И третье – алгоритм Евклида. Когда мы буде говорить о дробях, о сложении дробей с разными знаменателями, идея НОД нам очень понадобится. На этом наш урок закончен.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2.      Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Рекомендованные ссылки на интернет ресурсы

Интернет портал «CleverStudents» (Источник)

Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)

Интернет портал «База презентаций» (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

Найдите НОД чисел: 27, 15 и 9.

Найдите НОД (424;477) при помощи алгоритма Евклида.

Туристы проехали за первый день 56 км, а за второй – 72 км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи.