Математика

55.Отношения.

В древности и почти на всём протяжении средних веков под числом понималось только натуральное число, – собрание единиц, полученное в результате счета. Отношение же, будучи результатом деления одного числа на другое, не считалось числом.

Но уже в трудах Омара Хайяма высказана мысль о том, что отношение есть число и что над отношениями можно производить все действия, которые производятся над целыми числами.

Явно новое определение числа было дано впервые в 17 веке английским ученым Исааком Ньютоном. В своей «Всеобщей арифметике» он писал: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».

$\frac{a}{b}$ – это частное, отношение чисел a и b.

Если $\frac{a}{b}>1$, то $a>b$, и отношение $\frac{a}{b}$ показывает, во сколько раз a больше b.

Если $\frac{a}{b}<1$, то $a<b$, и отношение $\frac{a}{b}$ показывает, какую часть a составляет от b.

Если $\frac{a}{b}=1$, то $a=b$.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение разноименных величин – новая величина. Отношение может быть выражено в процентах. Оно показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Задача 1. От куска материи длиной 5 м отрезали 2 м. Какую часть куска материи отрезали?

Узнаем, какую часть всего куска материи составляет 1 м. Так как в куске 5 м, то 1 м составляет $\frac{1}{5}$ куска. Значит, 2 м составляют $\frac{2}{5}$ всего куска материи.

$2:5=\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0,4=40\%$.

Отношение одноименных величин – число.

Задача 2. Длина железной дороги 360 км. Электрифицировано 240 км этой дороги. Какая часть дороги электрифицирована? Во сколько раз вся дорога длиннее ее электрифицированной части?

Найдем отношение: $240:360=\frac{240}{360}=\frac{2}{3}$ – часть дороги, которая электрифицирована.

В $360:240=\frac{360}{240}=\frac{3}{2}=1,5$ раза вся дорога длиннее ее электрифицированной части.

Числа $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ – взаимно обратные, поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 тоже взаимно обратные.

Если значение двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

Задача 3. Масса станка 9,6 ц, а масса электромотора 36 кг. Найдите отношение массы электромотора к массе станка.

Выразим массу станка в килограммах: 9,6 ц = 960 кг.

Найдем отношение массы электромотора к массе станка:

$36:960=\frac{36}{960}=\frac{3}{80}$.

Масса электромотора составляет $\frac{3}{80}$ массы станка.