Математика

Тема 4: Отношения и пропорции

Урок 1: Отношения

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

55.Отношения.

В древности и почти на всём протяжении средних веков под числом понималось только натуральное число, – собрание единиц, полученное в результате счета. Отношение же, будучи результатом деления одного числа на другое, не считалось числом.

Но уже в трудах Омара Хайяма высказана мысль о том, что отношение есть число и что над отношениями можно производить все действия, которые производятся над целыми числами.

Явно новое определение числа было дано впервые в 17 веке английским ученым Исааком Ньютоном. В своей «Всеобщей арифметике» он писал: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».

ab – это частное, отношение чисел a и b.

Если ab>1, то a>b, и отношение ab показывает, во сколько раз a больше b.

Если ab<1, то a<b, и отношение ab показывает, какую часть a составляет от b.

Если ab=1, то a=b.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение разноименных величин – новая величина. Отношение может быть выражено в процентах. Оно показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Задача 1. От куска материи длиной 5 м отрезали 2 м. Какую часть куска материи отрезали?

Узнаем, какую часть всего куска материи составляет 1 м. Так как в куске 5 м, то 1 м составляет 15 куска. Значит, 2 м составляют 25 всего куска материи.

2:5=25=410=0,4=40%.

Отношение одноименных величин – число.

Задача 2. Длина железной дороги 360 км. Электрифицировано 240 км этой дороги. Какая часть дороги электрифицирована? Во сколько раз вся дорога длиннее ее электрифицированной части?

Найдем отношение: 240:360=240360=23 – часть дороги, которая электрифицирована.

В 360:240=360240=32=1,5 раза вся дорога длиннее ее электрифицированной части.

Числа 23 и 32 – взаимно обратные, поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 тоже взаимно обратные.

Если значение двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

Задача 3. Масса станка 9,6 ц, а масса электромотора 36 кг. Найдите отношение массы электромотора к массе станка.

Выразим массу станка в килограммах: 9,6 ц = 960 кг.

Найдем отношение массы электромотора к массе станка:

36:960=36960=380.

Масса электромотора составляет 380 массы станка.