Математика

56. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональная зависимости.

Рассмотрим отношения $3,6:1,2=3$ и $6,3:2,1=3.$

Эти отношения равны. $3,6:1,2=6,3:2,1$ или $\frac{3,6}{1,2}=\frac{6,3}{2,1}$.

Равенство двух отношений называют пропорцией.

С помощью букв пропорцию записывают так:

$a:b=c:d$ или $\frac{а}{b}=\frac{c}{d}$.

Эти записи читают так: «Отношение a к b равно отношению с к d» или «а так относится к b, как с относится к d».

Числа а и d называют крайними, а числа b и c – средними членами пропорции.

В пропорции $\frac{3,6}{1,2}=\frac{6,3}{2,1}$ найдем произведение ее крайних членов и произведение ее средних членов: $3,6·2,1=7,56$              и              $1,2·6,3=7,56.$

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.

$\mathrm{ad}=\mathrm{bc}$.

Это свойство называют основным свойством пропорции.

Пропорция $20:16=5:4$ верна, так как $20·4=16·5=80.$

Поменяем местами в этой пропорции средние члены, т.е. 20:5 = 16:4. Получилось верное равенство. Таким образом, при перестановке произведение крайних и произведение средних членов не меняется.

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.

Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны.

Пример 1. Найдем в пропорции у:

$у:51,6=11,2:34,4.$

Используя основное свойство пропорции, получим: $у·34,4=51,6·11,2.$ Значит,

$у=\frac{51,6·11,2}{34,4}=16,8$.

Пример 2. Решим уравнение $\frac{67,8}{а}=\frac{7,62}{6,35}$.

Используя основное свойство пропорции, получим: $7,62·а=6,35·67,8.$ Значит,

$а=\frac{6,35·67,8}{7,62}=56,5$.

Пример 3. Решим уравнение $0,2:\left(x-2\right)=\frac{1}{2}:2\frac{1}{2}$.

Используя основное свойство пропорции, получим:

$\left(x-2\right)\bullet \frac{1}{2}=0,2\bullet 2\frac{1}{2}$

$\left(x-2\right)\bullet \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$x-2=1$

$x=3$.

Если станок с программным управлением за 2 ч изготовляет 28 деталей, то за 4 ч он изготовит 56 таких деталей. Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько же раз больше деталей он изготовит. Значит, равны отношения 4:2 = 56:28. Такие величины, как время работы станка и число изготовленных деталей, называют прямо пропорциональными величинами.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Пример 4. Автомобиль за 2 ч проехал 180 км. За какое время автомобиль проедет вдвое большее расстояние, если будет двигаться с той же скоростью?

Найдем вдвое большее расстояние: $180·2=360\mathrm{км}.$

Найдем скорость автомобиля: $180:2=90\mathrm{км}/ч.$

Найдем время, требующееся на $360\mathrm{км}:360:90=4ч.$

Значит, автомобилю потребуется вдвое большее времядля прохождения вдвое большего расстояния.

Говорят: "Время прямо пропорционально расстоянию". Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Пример 5. Автомобилю, двигающемуся со скоростью 60 км/ч, потребовалось 6 часов на прохождение пути. За какое время автомобиль проедет это же расстояние, если будет двигаться с вдвое большей скоростью?

Найдем вдвое большую скорость: $60·2=120\mathrm{км}/ч.$

Найдем расстояние: $60·6=360\mathrm{км}.$

Найдем время при скорости $120\mathrm{км}/ч:360:120=3ч.$

Значит, автомобилю потребуется вдвое меньшее время для прохождения расстояния с вдвое большей скоростью.

Говорят: "Время обратно пропорционально скорости". Во сколько раз увеличится скорость, при том же расстоянии, во столько же раз уменьшится время.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.