Математика

Введение

 

Когда мы рисуем какой-нибудь объект, например дом, то стремимся нарисовать его похожим. Что это значит? Мы можем не знать ширину и высоту дома (см. Рис. 1), но мы всегда визуально оцениваем их соотношение.

 

Рис. 1. Соотношение ширины и высоты дома

Если высота дома в два раза больше его ширины, то на нашем рисунке это соотношение должно остаться таким же: если нарисовали дом шириной  клетки, то высота должна быть  клетки (см. Рис. 2).

Рис. 2. Правильное соотношение на рисунке

Если сделаем высоту дома  клеток, то он будет слишком «узкий», сделаем  клетки – снова непохоже, дом получается квадратным. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Слева направо: 1 – дом с неправильным соотношением ширины и высоты (ширина – 2 клетки, высота – 10); 2 – дом с верным соотношением ширины и высоты; 3 – дом с неправильным соотношением ширины и высоты (ширина – 2 клетки, высота – 2)

Записать это равенство можно с помощью дробей:

Или с помощью знака деления:

Эти записи эквиваленты.

 

Определение пропорции

 

 

Равенство двух отношений называют пропорцией.

 

 или

 и  называют крайними членами пропорции,  и  – средними членами.

Конечно, мы уже записывали пропорции раньше, просто не называли их так. Для любой дроби есть бесконечное количество эквивалентных, равных ей дробей. (Достаточно числитель и знаменатель умножить на одно и то же число.)

Раньше мы говорили «две третьих равно восемь двенадцатых» () или «два делить на три равно восемь делить на двенадцать» ().

Теперь мы можем еще сказать «два относится к трем, как восемь относится к двенадцати». То есть два отношения равны друг другу.

 

Случаи возникновения пропорции

 

 

Обычно пропорции возникают в двух случаях.

 

1. Мы знаем две величины. Их отношение можно записать дробью. Потом эту дробь можно записать более просто, например сократить. Получим равенство двух дробей, то есть пропорцию.

Пример 1. Высота дома  метров, ширина  метров. (См. Рис. 4.) Каково отношение этих размеров?

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1

Конечно, их отношение – это один размер, деленный на другой. То есть . Но эту дробь можно сократить, записать эквивалентной, более простой на вид. . То есть можно сказать, что высота относится к ширине, как  к , но проще сказать, как  к .

Можно и наоборот. Ширина относится к высоте, как  к  или как  к  ().

А если бы размеры были  м и  м?

Тогда мы бы записали отношение  и упростили его, умножив числитель и знаменатель на два: .

То есть обычно стараются получить несократимую дробь с целыми числителем и знаменателем.

2. Мы знаем две величины и их отношение. И еще две, которые связаны таким же отношением. Размеры дома –  и  метров и рисунка дома –  и  см. (См. Рис. 5.) Равенство этих двух отношений () и есть пропорция.

Рис. 5. Равенство отношений размеров предметов представляет собой пропорцию

Пример 2. Мы пошли в поход. В первый день мы шли  ч. Во второй день –  ч. Каково отношение пройденных расстояний в первый и второй день, если скорость была одинакова? (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 2

Во сколько раз времени мы больше затратили, во столько же раз мы больше и прошли.
То есть отношения времени и отношение пути в первый и второй день равны:

Получаем пропорцию:

И это будет справедливо для любых промежутков времени: . Отношение потраченного времени равно отношению пройденных расстояний.

Пример 3. Считается справедливым, что во сколько раз человек больше сделал, во столько раз и вознаграждение у него должно быть больше.

Введем обозначения: ,  – объем выполненной работы 1-м и 2-м человеком,

,  – вознаграждение каждого (см. Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 3

Тогда во сколько раз один объем отличается от другого, точно так же должны отличаться и вознаграждения. Два отношения равны, то есть получаем пропорцию: .

 

Математические действия с пропорцией

 

 

Теперь подробнее остановимся на арифметической части, какие математические действия мы можем производить с пропорцией.

 

Итак, пусть есть пропорция:

Так как левая и правая часть – это дроби, то мы можем делать все, что делали с дробями и раньше.

Приведем дроби к общему знаменателю (очевидно, что общим знаменателем является произведение ).

Две дроби равны. Знаменатели у них равны. Значит и числители их равны.

Запишем это: .

То есть если пропорция записана с помощью дроби, то можно перемножить ее члены крест-накрест и приравнять:

Если пропорция записана с помощью знака деления, то можно перемножить крайние и средние члены и приравнять:

Это одно и то же.

Это свойство иногда называют основным свойством пропорции.

Возьмем какую-нибудь простую пропорцию. Например, .

Легко увидеть, что это пропорция верная, так как обе дроби равны числу .

Перемножим крест-накрест ее члены, то есть воспользуемся основным свойством пропорции: . Получаем: .

Это свойство удобно при вычислениях, решении задач. Но если вы его не запомнили – ничего страшного. Всегда можно получить то же самое, просто выполняя эквивалентные преобразования дробей.

Приведем дроби к общему знаменателю:

Знаменатели равны, значит, числители тоже равны:

В качестве домашнего задания ответьте на следующие вопросы:

1. Почему в пропорции можно поменять местами два крайних члена?

Подсказка: воспользуйтесь основным свойством пропорции.

Какие еще члены можно поменять местами? (Для проверки возьмите любую пропорцию с конкретными числами.)

 

Пропорции в задачах

 

 

Итак, мы обсудили:

 

• Когда появляется пропорция.
• Какие арифметические действия мы можем с ней выполнять.

Осталось обсудить последний вопрос: как пропорция помогает нам решать задачи?

 

У пропорции  члена. Если три известны, а один нет, то мы можем его найти. Причем нет большой разницы, какой именно член неизвестен: , или , или , или .

Пример 1. Найти неизвестный член пропорции .

1. Первый способ.

Перемножим крест-накрест:

Выразим :

2. Второй способ 

После того как мы сократили правую дробь, поменять местами средние члены:

И сразу получаем ответ:

Ответ: .

Пример 2. Найти неизвестный член пропорции: .

Перемножим крайние и средние члены:

Ответ: .

 

Задачи

 

 

Задача 1. В первый день участники похода прошли  км за  часов, во второй день –  км. (См. Рис. 7.) Сколько времени они шли во второй день, если скорость не менялась?

 

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 1

Решение. Введем обозначения:  – пройденные пути;  – затраченное время.

Зачем вводить обозначения для тех величин, которые мы уже знаем? С такими обозначениями намного меньше шансов запутаться при записи условия, чем сразу записывать числами.

Итак, чем больше путь, тем больше затраченное время.

Запишем пропорцию:

Подставим известные величины:

Воспользуемся основным свойством, т. е. перемножим крест-накрест:

И выразим :

Ответ: во второй день они шли  часов.

Конечно, мы могли не применять здесь пропорцию.

Нам известны расстояние и время за первый день пути. Мы могли найти скорость движения. Так как скорость одинаковая и в первый, и во второй день и мы знаем расстояние за второй день, то можно найти требуемое время. Но так как в условии задачи не требовалось искать скорость, то мы сэкономили себе время, не вычисляя ее, тем самым сразу нашли неизвестное.

Задача 2. Первая бригада вскопала  поля и получила за это  рублей. Вторая бригада вскопала остальную часть поля. Сколько нужно заплатить второй бригаде? (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 2

Решение. Попробуем составить пропорцию сразу, используя известные значения, без введения дополнительных переменных. Понятно, что во сколько раз вторая бригада больше работала, во столько раз она и должна больше получить.

Запишем это в виде пропорции. Итак, если первая бригада вскопала , то вторая .

Отношение вскопанной площади (объема работ) равно: .

Отношения оплат должно быть равно отношению сделанной работы:

Выражаем :

Находим, что оплата второй бригады должна составить  рублей.

Ответ: второй бригаде нужно заплатить  рублей.

 

Заключение

 

 

Итак, кратко повторим.

 

• Пропорция – это равенство двух отношений. Ее можно записать с помощью дробей или знаков деления: ; .
• В пропорции можно перемножить члены крест-накрест или крайние и средние члены и приравнять: ; .
• Если любой из четырех членов пропорции неизвестен, мы его можем найти:  или  или  или .
• При решении задач нужно найти пары величин, отношения которых равны, приравнять, подставить все известные значения и выразить из полученной пропорции неизвестную величину.

 

Список литературы

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. – 2-е изд., перераб. – М. «Просвещение», 2010; Ч. 2 – 128 с.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Yaklass.ru (Источник).
3. School-assistant.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найдите неизвестный член пропорции: .
2. Верна ли данная пропорция: ?
3. За  кг картошки заплатили  руб. Сколько стоят  кг картошки?