Математика
Тема 13: Положительные и отрицательные числа. Профильный уровеньУрок 13: Рациональные числа
- Видео
- Тренажер
- Теория
Введение
Мы уже говорили про множества натуральных и целых чисел. Множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел 
.
Теперь мы узнали, что такое дроби, научились с ними работать. Дробь 
, например, не является целым числом. Значит, нужно описать новое множество чисел, куда будут входить все дроби, и этому множеству нужно название, четкое определение и обозначение.
Множество рациональных чисел
Начнем с названия. Латинское слово ratio переводится на русский язык как отношение, дробь. Название нового множества «рациональные числа» и происходит от этого слова. То есть «рациональные числа» можно перевести как «дробные числа».
Разберемся, из каких чисел состоит это множество. Можно предположить, что оно состоит из всех дробей. Например, таких – 
. Но такое определение было бы не совсем корректным. Дробь – это не само число, а форма записи числа. В примере, представленном ниже, две разные дроби обозначают одно и то же число: 
Тогда точнее будет сказать, что рациональные числа – это те числа, которые можно представить в виде дроби. И это в самом деле уже почти то самое определение, которое и используют в математике.
Обозначили это множество буквой 
. А как связаны множества натуральных и целых чисел с новым множеством рациональных чисел? Натуральное число 
можно записать в виде дроби, причем бесконечным числом способов 
. А раз его можно представить в виде дроби, то оно тоже является рациональным.
С отрицательными целыми числами аналогичная ситуация. Любое целое отрицательное число можно представить в виде дроби 
. А можно ли число ноль представить в виде дроби? Конечно, можно, тоже бесконечным числом способов 
.
Таким образом, все натуральные и все целые числа тоже являются рациональными числами. Множества натуральных и целых чисел являются подмножествами множества рациональных чисел (
).
Замкнутость множеств относительно арифметических операций
Необходимость введения новых чисел – целых, затем рациональных – м ожно объяснять не только задачами из реальной жизни. Сами арифметические операции подсказывают нам это. Сложим два натуральных числа: 
. Получим снова натуральное число.
Говорят, множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения (
замкнуто относительно сложения). Самостоятельно подумайте, замкнуто ли множество натуральных чисел относительно умножения.
Как только мы пытаемся вычесть из числа равное ему или большее, то натуральных чисел нам не хватает. Введение нуля и отрицательных целых чисел исправляет ситуацию:
Множество целых чисел замкнуто относительно вычитания. Мы можем складывать и вычитать любые целые числа, не опасаясь, что у нас не будет числа, чтобы записать результат (
замкнуто относительно сложения и вычитания).
Замкнуто ли множество целых чисел относительно умножения? Да, произведение любых двух целых чисел дает в результате целое число ( замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения).
Осталось еще одно действие – деление. Замкнуто ли множество целых чисел относительно деления? Ответ очевиден: нет. Поделим 
на 
. Среди целых чисел нет такого, чтобы записать ответ: 
.
Но с помощью дробного числа мы почти всегда можем записать результат деления одного целого числа на другое. Почему почти? Вспомним, что, по определению, делить на ноль нельзя.
Таким образом, множество рациональных чисел (которое возникает при введении дробей) претендует на роль множества, замкнутого относительно всех четырех арифметических операций.
Давайте проверим.
- Сумма двух рациональных чисел всегда рациональное число:
. - Разность двух рациональных чисел всегда рациональное число:
. - Произведение двух рациональных чисел всегда рациональное число:
. - Частное двух рациональных чисел – рациональное число, за исключением деления на ноль:
.
То есть множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления, исключая деление на ноль. В этом смысле можно говорить, что множество рациональных чисел устроено «лучше», чем предшествующие множества натуральных и целых чисел. Означает ли это, что рациональные числа – последнее числовое множество, которое мы изучаем? Нет. Впоследствии у нас появятся другие числа, которые нельзя записать в виде дробей, например иррациональных.
Числа как инструмент
Числа – это инструмент, которые человек создавал по мере необходимости.
Рис. 1. Использование натуральных чисел
Понадобилось считать предметы или нумеровать их – появились натуральные числа (
) (см. рис. 1).
Дальше, когда понадобилось вести денежные расчеты, перед числом стали ставить знаки плюс или минус, показывая, нужно увеличить или уменьшить исходную величину. Так появились отрицательные и положительные числа. Новое множество назвали множеством целых чисел (
).
Рис. 2. Использование дробных чисел
Считать нужно не только целые количества, но и дробные: например, 
литра воды (см. рис. 2).
Поэтому появляется новый инструмент, новые числа – дроби. Мы их записываем разными эквивалентными способами: обыкновенными и десятичными дробями (
).
Все числа – «старые» (целые) и «новые» (дробные) – объединили в одно множество и назвали его множеством рациональных чисел ( – рациональные числа )
Итак, рациональное число – это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Но это определение в математике еще немного уточняют. Любое рациональное число можно представить в виде дроби с положительным знаменателем, то есть отношением целого числа к натуральному: 
.
Тогда получаем определение: число называется рациональным, если его можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем (
).
Десятичные и обыкновенные дроби
Кроме обыкновенных дробей, мы используем и десятичные. Посмотрим, как они связаны с множеством рациональных чисел.
Десятичные дроби бывают трех видов: конечные, периодические и непериодические.
- Конечные десятичные дроби: после запятой стоит конечное количество цифр:
. - Бесконечные периодические дроби: после запятой стоит бесконечное количество цифр, но одна или несколько цифр повторяются. Повторяющиеся цифры называют периодом. Для краткости записи его записывают в скобках. Цифры между запятой и периодом называют предпериодом. В первом числе предпериода нет, во втором он равен
:
Бесконечные непериодические дроби: у таких дробей тоже бесконечное количество цифр после запятой, но периода нет. Примером является десятичная запись числа ПИ: 
Любая конечная десятичная дробь по определению – это обыкновенная дробь со знаменателем 
и т.д.
Прочитаем десятичную дробь вслух и запишем в виде обыкновенной: 
, 
.
При обратном переходе от записи в виде обыкновенной дроби к десятичной могут получаться конечные десятичные дроби или бесконечные периодические дроби.
Переход от обыкновенной дроби к десятичной
Самый простой случай, когда знаменатель дроби – это степень десятки: 
и т.д. Тогда мы пользуемся определением десятичной дроби:
Есть дроби, у которых знаменатель легко приводится к такому виду: 
. Перейти к такой записи возможно, если в разложение знаменателя входят только двойки и пятерки.
Знаменатель 
состоит из трех двоек и одной пятерки. Каждая и образуют десятку. Значит, нам не хватает двух . Домножим на 
и числитель, и знаменатель:
Можно было поступить по-другому. Поделить столбиком 
на 
(см. рис. 1).
Рис. 1. Деление в столбик
Рис. 2. Деление в столбик
В случае с знаменатель не удастся превратить в 
или другое разрядное число, так как в его разложение входит тройка. Остается один способ – делить в столбик (см. рис. 2).
Такое деление на каждом шаге будет давать в остатке и 
в частном. Этот процесс бесконечен. То есть получили бесконечную периодическую дробь с периодом
Давайте потренируемся. Переведем обыкновенные дроби в десятичные.
Во всех этих примерах мы получили конечную десятичную дробь, так как в разложении знаменателя были только двойки и пятерки.
(проверим себя делением в столик – см. рис. 3).
Рис. 3. Деление в столбик
Рис. 4. Деление в столбик
(см. рис. 4)
В разложение знаменателя входит тройка, значит, привести знаменатель к виду 
, 
и т.д. не получится. Делим на в столбик. Ситуация будет повторяться. В записи результата будет бесконечное число троек. Таким образом, 
.
(см. рис. 5)
Рис. 5. Деление в столбик
Итак, любое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби. Это его определение.
А любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Виды записи дробей:
запись десятичной дроби в виде обыкновенной: ; 
;
запись обыкновенной дроби в виде десятичной: 
(конечная дробь); 
(бесконечная периодическая).
То есть любое рациональное число можно записать конечной или периодической десятичной дробью. При этом конечную дробь тоже можно считать периодической с периодом ноль.
Иногда рациональному числу дают именно такое определение: рациональное число – это число, которое можно записать периодической десятичной дробью.
Преобразование периодической дроби
Рассмотрим сначала дробь, у которой период состоит из одной цифры и нет предпериода. Обозначим это число буквой 
. Метод заключается в том, чтобы получить еще одно число с таким же периодом:
Это можно сделать, умножив исходное число на . Итак, число 
имеет такой же период. Вычтем из само число :
Чтобы убедиться, что мы правильно все сделали, давайте теперь сделаем переход в обратную сторону, уже известным нам способом – делением в столбик 
на 
(см. рис. 1).
Рис. 1. Деление в столбик
В самом деле получаем число в исходной форме с периодом .
Рассмотрим число с предпериодом и более длинным периодом: 
. Метод остается точно таким же, как и в предыдущем примере. Надо получить новое число с таким же периодом и предпериодом такой же длины. Для этого нужно, чтобы запятая сдвинулась вправо на длину периода, т.е. на два знака. Умножим исходное число на :
Вычтем из полученного выражения исходное:
Итак, каков алгоритм перевода. Периодическую дробь нужно умножить на число вида 
и т.д., в котором столько нулей, сколько цифр в периоде десятичной дроби. Получим новую периодическую. Например:
Вычтем из одной периодической дроби другую, получим конечную десятичную дробь:
Остается выразить исходную периодическую дробь в виде обыкновенной.
Для тренировки самостоятельно запишите несколько периодических дробей. По данному алгоритму приведите их к виду обыкновенной дроби. Для проверки на калькуляторе поделите числитель на знаменатель. Если все верно, то получится исходная периодическая дробь
Итак, любую конечную или бесконечную периодическую дробь мы можем записать как обыкновенную дробь, как отношение натурального и целого чисел. Т.е. все такие дроби являются рациональными числами.
А как обстоит дело с непериодическими дробями? Оказывается, непериодические дроби невозможно представить в виде обыкновенных (этот факт мы примем без доказательства). А значит, они не являются рациональными числами. Их называют иррациональными.
Бесконечные непериодические дроби
Как мы уже сказали, рациональное число в десятичной записи – это или конечная, или периодическая дробь. Значит, если мы сможем построить бесконечную непериодическую дробь, то мы получим нерациональное, то есть иррациональное число.
Вот один из способов такого построения: 
Дробная часть этого числа состоит только из нулей и единиц. Количество нулей между единицами каждый раз увеличивается на 
. Здесь невозможно выделить повторяющуюся часть. То есть дробь не является периодической.
Потренируйтесь самостоятельно конструировать непериодические десятичные дроби, то есть иррациональные числа
Известный нам пример иррационального числа – это число пи (). Периода в этой записи нет. Но, кроме числа пи, существует бесконечно много других иррациональных чисел. Подробнее об иррациональными числами мы поговорим позже.
Список рекомендованной литературы
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 31-е изд., стер. - М: Мнемозина, 2013.
- Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я., М.: Экзамен, 2013.
- Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана - Граф, 2013.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Выберите из данных чисел рациональные:
. - Преобразуйте обыкновенную дробь в десятичную: а)
, б) 
, в) 
. - Преобразуйте периодическую дробь
в обыкновенную.
