Математика

Введение

 

Одно и то же число или выражение можно записать разными способами. Например, это две эквивалентные записи одного и того же количества:  и .

 

Или сумму трех одинаковых слагаемых  можно записать эквивалентным способом  :.

Рассмотрим два выражения:  и . Это эквивалентные выражения, но для того чтобы вычислить значение первого выражения, нужно выполнить три действия (два умножения и сумма).

А для того чтобы вычислить значение второго выражения, достаточно выполнить всего одно – умножение: .

Таким образом, второе выражение оказывается в некотором смысле проще первого.

 

Упрощение выражений

 

 

Если мы какое-то выражение переписали в виде эквивалентного, но с меньшим количеством знаков действий, то говорят, что мы упростили выражение.

 

Как мы уже сказали, выражение  можно упростить (). А для выражения  такой эквивалентной записи нет. В чем разница? В первом примере переменные были одинаковые, а во втором – разные. Такая же ситуация и с другими буквенными выражениями:

Сумму одинаковых буквенных выражений можно упростить. А сумму двух разных записать проще не получится.

Вспомним, что в произведении числа и переменных число называют коэффициентом, а произведение переменных – буквенной частью.

В произведении  коэффициент равен , а буквенная часть . Коэффициент  указывает, сколько одинаковых буквенных выражений в этой краткой записи суммы: .

Итак, сумму нескольких одинаковых буквенных выражений можно упростить, записав это выражение с коэффициентом, равным количеству слагаемых. Например, эту сумму  четырех одинаковых буквенных слагаемых мы можем записать с помощью коэффициента : .

Посмотрим на сумму двух выражений с одинаковыми буквенными частями:  и . Первое слагаемое – это краткая запись суммы двух одинаковых буквенных выражений, а второе – трех таких же. То есть это сумма пяти одинаковых буквенных выражений, и ее тоже можно записать коротко:

К этому же выводу можно прийти, воспользовавшись распределительным свойством: вынесем одинаковую буквенную часть в сумме за скобку. В скобках останется сумма коэффициентов: . Результат получился тот же.

То есть необязательно расписывать численно-буквенные выражения на суммы одинаковых слагаемых, достаточно сложить коэффициенты, а буквенную часть оставить такой же: .

Свойства вычитания аналогичны свойствам сложения: .

 одинаковых выражений минус  таких же будет  таких выражений. Или, используя распределительное свойство, .

Если коэффициенты не являются целыми числами, то ситуация прежняя:

Если два слагаемых имеют одинаковую буквенную часть, то их называют подобными слагаемыми.

Как мы уже сказали, чтобы сложить подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты, буквенная часть при этом не меняется: .

В этой сумме первое и третье слагаемое подобны, второе с четвертым тоже подобны. Их можно попарно сложить. Полученную сумму из двух слагаемых уже нельзя упростить, записать с меньшим количеством знаков, так как они не являются подобными, имеют разную буквенную часть.

Итак, сделаем небольшой вывод.

• Два выражения называются подобными, если они имеют одинаковую буквенную часть.
• Чтобы сложить (вычесть) подобные выражения (или, короче, подобные слагаемые), нужно сложить (вычесть) их коэффициенты. Буквенная часть не изменится.

Сложение подобных слагаемых часто называют приведением подобных слагаемых.

 

Решение примеров

 

 

Теперь рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых.

 

Пример 1: .

Первое и третье слагаемые подобны, аналогично второе и четвертое слагаемые. Полученные два слагаемых не являются подобными. Дальше упростить не получится.

Пример 2: .

В первом и последнем слагаемом переменные стоят в разном порядке, но так как множители можно менять местами (переместительное свойство умножения), то это подобные слагаемые. Второе и третье слагаемые тоже подобны.

Пример 3: .

Перед слагаемым  не стоит коэффициента. Такая запись означает, что коэффициент равен единице. Значит: .

Числа без буквенных множителей – это обыкновенные числа, которые мы умеем складывать и вычитать. Приведем подобные: .

Пример 4: .

Выражение содержит три слагаемых, и подобных слагаемых среди них нет. Если раскрыть скобки, слагаемых станет больше, посмотрим, будут ли среди них подобные.

Приведем подобные: .

Решим еще несколько примеров.

1. 

Слагаемые  не являются подобными. В этом выражении только одна пара подобных слагаемых  и .

2. 

Чтобы сложить дробные коэффициенты, приведем их к общему знаменателю и приведем подобные слагаемые: .

3. 

Здесь подобными является пара слагаемых с буквенной частью . Приведем подобные слагаемые: .

4. 

Выражение содержит два слагаемых, среди них нет подобных слагаемых. Раскроем скобки. Получилось четыре слагаемых, среди них есть подобные с буквенной частью . Приведем подобные:

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 31-е изд., стер. М: Мнемозина, 2013.
2. Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я., М.: Экзамен, 2013.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана - Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

 

1. School-assistant.ru (Источник).  
2. Edufuture.biz (Источник).          
3. Cleverstudents.ru (Источник).  

Домашнее задание

1. Сложите (приведите) подобные слагаемые.

1. 
2. 
3. 
4. 

      2. Найдите значение выражения:

      3. Найдите значение выражения: